Свойства тензоров и операции с тензорами

Сложение тензоров.

Операция сложения тензоров определяется так же, как операция сложения квадратных матриц:

Можно показать, что сумма двух тензоров также будет тензором (эго следует из линейности). Предлагается доказать этот факт самостоятельно.

Единичный тензор. Тензор, матрица которого является единичной, называется единичным тензором

Компоненты единичного тензора могут быть представлены с помощью дельта-символа Кронекера:

Отметим, что дельту Кронекера можно представить через скалярное произведение базисных векторов: е_г; • ej = Sij.

Можно легко показать, что при переходе к новой СК тензор останется единичным. Для этого нужно к формулам преобразования компонентов единичного тензора применить установленные ранее свойства компонентов матрицы преобразования координат (1.9) и (1.10).

Сопряженный тензор. Рассмотрим объект Q, компоненты которого определяются соотношениями.

Такой тензор называется тензором, сопряженным к исходному. Матрица сопряженного тензора представляет собой транспонированную матрицу исходного тензора⁵. Можно показать, что если компоненты pij определяют тензор, то и компоненты сопряженного объекта (jij = pji также будут представлять тензор. Это следует из цепочки равенств.

⁵Это справедливо для тензоров с действительными компонентами. Если элементы матрицы тензора представляют собой комплексные величины, то, кроме транспонирования матрицы, необходимо выполнить операцию сопряжения ее комплексных элементов. Объекты с комплексными компонентами выходят за пределы наших интересов, поэтому под сопряжением мы будем понимать операцию транспонирования.

Покажем, как доказать это свойство, используя матричное представление тензоров и матричные операции над ними. Итак, если V является тензором, то переход к новой системе координат будет даваться соотношением V' = WVW^T. Применив к этому соотношению операцию сопряжения, получим (V')^T = (WVW^T)^r.

Из алгебры матриц известно, что операция транспонирования произведения удовлетворяет условию (АВ)^Т = В^т А^т. Используя ассоциативность матричного произведения, легко установить правило транспонирования тройного произведения: (А В С)^т = С^т В^т А^т. Применяя это свойство, получим соотношение.

которое устанавливает, что при переходе в новую систему координат компоненты объекта, сопряженного с исходным тензором, преобразуются по правилам тензорного преобразования. Это доказывает то, что операция сопряжения нс изменяет тензорный характер объекта.

Произведение тензоров. Для двух тензоров А = {а^} и В = = {М можно определить их произведение V = АВ, как произведение соответствующих матриц:

Весьма важно, что получающийся таким образом объект также является тензором. Это легко устанавливается с помощью следующих матричных преобразований, которые мы подробно проведем. Запишем результат произведения тензоров в новой системе координат: С' = (А В)' = W (А В) W^T. Пользуясь тем, что преобразование координат осуществляется ортогональной матрицей, обладающей свойством W^T W = ?, где ? — единичная матрица, введем этот сомножитель внутрь произведения матриц А В. Это позволит записать следующую цепочку преобразований, в которой используется свойство ассоциативности матричного произведения⁰: С = W (А В) W^T = W (A{W^TW)B)W^T = (W A{W^T)(WВ) W^T = = А’В'.

Практически это означает, что мы можем преобразовать результат произведения тензоров в новую систему координат или сначала^[1]

преобразовать в нее компоненты тензоров и там произвести умножение — результат будет идентичным.

Возможность складывать и перемножать тензоры и при этом также получать тензоры говорит о том, что они образуют класс математических объектов, замкнутый относительно операций сложения и умножения. В этом классе имеется единичный объект — единичный тензор, при умножении на который объекты остаются неизменными. Можно ввести нулевой тензор — тензор с нулевыми компонентами. При сложении с этим объектом также не будут меняться произвольные тензоры. В математике класс объектов, обладающих таким свойством, называется полем.

След тензора. Сумма диагональных элементов квадратной матрицы называется ее следом, а для операции вычисления следа используют обозначения Sp или trace. Применение этой операции к тензору позволяет вычислить его скалярную характеристику след:

Ниже будет показано, что след тензора остается неизменным при переходе в другую координатную систему и является скалярным инвариантом тензора при его отображении в различных СК. Операция взятия следа обладает свойствами: Sp/l^T = Sp>4, Sp(AB) = = Sp{ВЛ). Последняя операция является важным случаем свертывания двух тензоров. Для операции взятия следа произведения двух тензоров используется специальное обозначение Sp АВ = А • В.

Используя свойство перестановочности матриц в свертке, можно легко показать, что ее значение не изменяется при переходе тензоров в новую координатную систему. Это следует из приводимой ниже цепочки равенств: Sp А’В' = Sp (W^T AW)(W^T BW) = Sp W^T ABW = = Sp W^T(ABW) = Sp (ABW)W^T = Sp AB.

С помощью операции свертывания строится модуль тензора:

• [1] Напомним, что свойство ассоциативности позволяет произвольно расставлять скобки внутри произведения цепочки матриц, определяя тем самым очередность выполнения элементарных операций умножения матриц.