Методы решения диффузионных уравнений

Способов решения дифференциального уравнения в частных производных параболического типа довольно много. Продемонстрируемособенности некоторых из них на конкретных примерах. Для сравнительного анализа эффективности различных математических подходов решим одну и ту же задачу тремя методами: методом Фурье, Лапласа и Грина.

Преобразование Фурье

В начале 19века Ж. Фурье предложил метод решения дифференциальных уравнений, основанный на представлении периодических и гладких непериодических функций при помощи тригонометрических рядов. Ряд Фурье— представление произвольной функции/с периодом Т в виде ряда

о ^k 1

где Ак — амплитуда к-го гармонического колебания, 2.71— = к (О — круговая

Т

частота гармонического колебания, вк— начальная фаза к-го колебания, fk—k-я комплексная амплитуда.

Тригонометрический ряд Фурье функции / € Z,₂([^— функциональ

ный ряд вида

Числа а, а" и Ьп (п=1,2,…, п) называются коэффициентами Фурье функции/. Теорема Фурье (комплексный интеграл Фурье) —функция f (x) представима в виде интеграла: .

Преобразование Фурье (?) — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разньши частотами. Преобразование Фурье функции / вещественной переменной является интегралом и задаётся формулой:

Если f (x) интегрируема, то к ней можно применить обратное преобразование Фурье, которое даёт исходную функцию.

Формула обращения Ферми:

На преобразовании Фурье базируется важный метод решения уравнений диффузии —метод разделения переменных.

Метод разделения переменных (Метод Фурье) — метод отыскания частных решений дифференциальных уравнений: путём специальных замен исходное уравнениеп переменных сводится к решению отдельных уравнений по меньшему числу переменных, в том числе к решению празличных уравнений для каждой перемен >юй.Методом Фурье решают линейные однородные уравнения.

Разделение переменных эффективно при решении дифференциальных уравнений параболического типа с постоянным коэффициентом диффузии при произвольном начальном распределении концентрации диффузанта по объёму образца.

Если рассматривается функция двутс переменных u (x, t), то метод Фурье включает следующие стадии:

• — подстановка в исходное уравнение u (x, t)=X (x) T (t);
• —получение двух уравнений относительно функций Х (х) и ДО;
• — решение задачи Штурма-Лиувилля для функции Х (д:), нахождение собственных значений >."и собственных функций^;
• —нахождение для каждого X" функции T_n(t).

Решение уравнения имеет вид:

где коэффициенты С, определяются из начальных условий.

Задача Штурма-Лиувилля— задача о собственных значениях и собственных функциях. Для краевой задачи

Х (х)" +Л*(Х (х))=о; Х (о)=Х (1)=о; а<�х<�Ь

требуется найти значения параметра Л=Л_п, при которых существуют ненулевые решения данной краевой задачи. При этом значения Л=Л_п называются собственными значениями задачи Штурма-Лиувилля, а соответствующие ненулевые решения называются собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля. Задача Штурма-Лиувилля — граничная задача е которой решения диффузионного уравнения удовлетворяют однородным линейным граничным условиям с вещественными коэффициентами.

Проиллюстрируем особенности метода разделения переменных на примере решения уравнения нестационарной диффузии в плоской неограниченной пластине. Уравнение диффузии:

Требуется найти решение (для конечного твёрдого тела), в котором переменные xnt разделены, т. е. функцию вида:

Общее решение Ур.1 будем искать в виде суммы бесконечного ряда п

членов вида (2), С = ^С_т .

т=1.

Поскольку Ур.1 второго порядка, достаточно ввести в Ур.2 две произвольные независимые постоянные. Полученное общее решение используют для проверки принятых граничных условий, что позволяет определить частные решения и число независимых переменных.

Сначала найдём частные решения.

Подставляя (2) в (1) получим:

Так как переменныеxutявляются независимыми, то:

где а — постоянная, т.к. часть этогоуравнения зависит лишь от времени, а вторая лишь от координаты.

Решение Ур.4 является классическим:

Коэффициенты а не могут быть положительными, т.к. при положительных значениях этих коэффициентов решение является расходящимся во времени. Чтобы удовлетворить условию сходимости, примем:

Постоянные Ьисне являются независимыми: их произведение образует произвольную постоянную а. Поэтому частное решение Ур.1 имеет вид:

Поскольку сумма членов С_т — действительное число и х и t — независимые переменные, то аггоже действительное число. Концентрация С— сумма частных решений, каждое из которых содержит две произвольные постоянные и которые связаны между собой законом суммирования:

Ур.бпредставляют как сумму двух тригонометрических рядов:

Частоты (для конечного тела они дискретны) находят из граничных условий. Константы а, А_т и В_т — из начальных условий.

Для определения набора частот со_ш рассмотрим ограниченное в направлении х тело, т. е. будем полагать, что пластина имеет конечную толщину, Н. В этом случае частоты принимают только дискретные значения.

Условие I-I. Концентрации на граничных поверхностях тождественно равны нулю:

Условие П-П. Так как диффузионный поток на двух граничных поверхностях равен нулю, градиент на этих поверхностях также равен нулю, производная от С на этих поверхностях равна нулю независимо от величины f, т. е. что ряд С содержит только косинусы (поскольку иначе градиент в точке л:=о не будет равен нулю) и все коэффициенты А в Ур.7 равны нулю. С другой стороны, значения sinctf^ Н равны нулю, что приводит к:

Условие II-I. Диффузионный поток на первой граничной поверхности равен нулю. Функция С содержит только косинусы. На второй граничной поверхности концентрация равна нулю, следовательно:

То же условие будет справедливо и для случая I—II.

Таким же образом можно получить значения (р в Ур.6.

Для определения амплитуд (коэффициентов а_т) воспользуемся начальным условием. Для расчёта коэффициентов, а или эквивалентных коэффициентов А_т и В_т используется метод Фурье. Начальное распределение концентрации в пластине задаётся в виде C (₀)=fix).

Изменение концентрационного профиля во времени:

Если в момент времени t = О С ($ = f (х) , то Табл.1. Результаты согласованных условий I—II рода_.

Индексы тип указывают на запись ряда, что позволяет опустить знак суммы.

Теперь найдём величину определенного интеграла:

вычисляемого от начала до конца линии диффузионного тока с такой точностью, с какой желательно получить коэффициент а_ш. Здесь:

Умножим правую и левую части Ур.9 на соъ (со_пх + (р_п) и возьмём интеграл (применим теорему Фурье):

где изменяется только п от нуля до бесконечности.

Условия (8) делают систему функций COs (rtK + (р) системой ортогональных функций на отрезке (о, Я), т. е. при т:^ = 0 •.

При т = п, напротив:

Эти выражения позволяют рассчитать а_т, если известен.

Согласно (и) имеем:

Расчёт коэффициентов а требует предосторожности в случае стенки с граничными условиями Н-Н (отражающие поверхности), когда функция С содержит только косинусы (<�р=о). Действительно, это разложение может включать как решение со=о. Здесь:

Можно рассчитать а₀ тем же методом:

Все интегралы, за исключением первого, равны нулю. Поэтому: и, следовательно,

Распределение концентрации диффузанта по толщине пластины:

Приведём некоторые примеры применения метода разделения переменных для решения конкретных диффузионных задач.

Пример 1. Задача на дегазацию пластины с произвольным начальным распределением концентрации (десорбция). Концентрация на поверхностях пластины поддерживается равной нулю в течение всего эксперимента, т. е. имеем условие I-I.

В этом случае А_т=а_т; В=о поэтому:

При больших временах ряд быстро сходится и можно ограничиться одним первым членом.

Количество диффузанта оставшееся в образце ко времени t: разца одинаковы.

Поток диффузанта, выходящий из одной из плоскостей пластины:

Если концентрация диффузанта на ограничивающих поверхностях.

Пример 2. Диффузия в сфере радиуса R с равномерным начальным распределением концентрации C (o, f)=Qo) и концентрацией на поверхности С (Д, 0=С_о.

Распределение концентрации диффузанта:

где г — текущая координата, г₀ — радиус шарика, А_п = 2*(—1)"^+|,.

ju_n = П7Г, критерий Фурье — f_q=—L.

R"

Пример з. Диффузия из бесконечно тонкого слоя в ограниченное твёрдое тело. Рассмотрим пластинку, в центре которой (в плоскости х=Н/2) расположен бесконечно тонкий источник диффундирующего вещества.

Рис. 1. Диффузия из бесконечно тонкого слоя в теле конечных размеров со связывающими границами: tl₃.

Распределение концентрации:

Взяв интеграл, получим:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Пример 4. Диффузия из постоянного источника в образец (сорбция). Рассмотрим поглощение газа пластинкой толщиной Я.

Рис. 2. Диффузия из постоянного источника в тело конечных размеров: начальное условие С (л, о); граничные условия: C (0,t)=C (H, t)=Co.

Будем искать решение задачи в виде.

Изменение распределение концентрации диффузанта по толщине пластины описывается формулой:

Решение для распределения концентрации имеет вид:

Количество вещества поглощенное пластиной ко времени t:

Пример 5. Диффузия в тело неограниченного размера из бесконечно тонкого импульсного источника.

Напомним, что для ограниченного тела ряд Фурье: а для бесконечного тела:

Воспользуемся интегральной теоремой Фурье, т. е. тем фактом, что практически любую функцию можно разложить на систему ортогональных функций синусов и косинусов:

Общее решение для бесконечного твёрдого тела:

Рис. з. Диффузия из импульсного бесконечно тонкого источника в бесконечную среду; значения Dt: 1/16 (1), 0,5 (2) и 1 (3).

Если бесконечно тонкий источник расположен в точке начал работать в момент времени т и проработал бесконечно малое время (бесконечно тонкий импульсный источник), количество попавшего в среду диффузанта М₀, то импульсная функция имеет вид:

Если C (?, o)=C (o)=const, ?=о, т=о, то Н_х л_ М (6) _{g ADl} [_г/_смз], где М (о) — количество диффузанта, находящееся в бесконечно тонком слое при времени t= о [г/см²].

Функция ехр (-д:²/4Dt) — чётная, поэтому распределения концентрации, создаваемые бесконечно тонким слоем в обоих полупространствах, симметричны относительно начала координат или середины слоя. Со временем начальное распределение постепенно расплывается, оставаясь симметричным относительно точки л:=о. _с ^мо уменьшается обратно.

~ lyfxDt

пропорционально корню квадратному из времени.

В трёхмерном случае:

Пример 6. Диффузия из слоя конечной толщины в бесконечную среду. Пусть в начальный момент времени концентрация примеси распределена равномерно в слое толщиной h.

Начальное условие:

Распределение концентрации:

^erf у^dz

где ⁰ — функция ошибок. Её основные свойства: erf (-у) = -erf у; erf0 = 0; erf’ж = 1.

Рис. 4. Диффузия из слоя конечной толщины в неограниченное тело; значения (Dt/h-у/²: о (1), 0,25(2), 0,5(3), 1(4), 2(5).

Дополнительная функция ошибок:

Интеграл дополнительной функции ошибок Высота максимума на кривой распределения концентрации уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из времени. При диффузии из слоя конечной толщины наблюдается тот же эффект, но он становится заметным через значительно большее время. Плоскость, в которой концентрация в е раз меньше, чем в плоскости дг=о, А', = 2ylDt, т. е. расстояние между этими плоскостями изменяется пропорционально корню квадратному из времени.

Пример 7. Диффузия в полуограниченное тело из бесконечнотонкого источника, расположенного при координате Воспользуемся решением для бесконечного тела:

Разобьём бесконечное тело на два полубесконечных, так что:

Тогда, распределение концентрации диффузанта:

Это выражение представляет собой общее решение диффузионного уравнения для полуограниченного тела. Функция Ci (-?, o) — неизвестна, ее можно определить из граничных условий.

Пример 8. Диффузия в полуограниченном теле со связывающей границей: односторонняя десорбция из полуограниченного твёрдого тела. Начальное условие: С=С (я, о).

Граничное условие: C (o, f)=o при.

t> о.

Общее решение имеет вид:

А) Частный случай начального равномерного распределения С (х, о)=С (₀).

Рис. 5. Диффузия из полуограниченного тела со связывающей границей. Распределение концентрации:

Полученное решение описывает распределение концентрации в процессе односторонней дегазации полуограниченного твёрдого тела.

Б) Частный случай диффузии из постоянного источника (сорбция):

С{о, 0=С_о; С (д, о)=о.

Распределение концентрации:

Рис. 6. Диффузия из постоянного источника в полуограниченное тело.

Поток диффузанта:

Общее количество диффузанта, поступившее в образец ко времени t: