Электрон в центральном поле

Для электрона в кулоновском поле ядра с зарядом Z в выражение для гамильтониана Дирака свободного электрона (7.8) необходимо добавить оператор потенциальной энергии.

Рис. 7.1. Спектр собственных значений гамильтониана Дирака при кулоновском потенциале.

Z

U = —. Тогда получаем г

Данное уравнение при кулоновском потенциале U решается точно, давая решения для электронных и позитронных состояний. Спектр собственных значений его качественно представлен на рис. 7.1 и содержит непрерывные и дискретные решения для электрона и позитрона.

В отличие от уравнения Шрёдингера уравнение на собственные значения с гамильтонианом Дирака не приводит к раздельным законам сохранения спинового и орбитального моментов.

Заливкой показано положение непрерывных уровней энергии свободной частицы, линиями — дискретный спектр связанных состояний электрона (при Z > 0) и позитрона (при Z < 0).

Гамильтониан Дирака нс коммутирует с операторами 1 и s, однако он коммутирует с компонентами оператора j = 1 + s. Поэтому собственные функции гамильтониана Дирака должны быть и собственными функциями операторов j², j₇, l², s² и частично могут быть соотнесены со значениями квантовых чисел / и 5.

Решение уравнения Дирака приводит к следующему выражению для энергии электрона:

где, но сравнению с величинами в нсрелятивистском выражении (3.20) появились энергия покоя m₀c² = 1 137² = 18 769 а.е., внутреннее квантовое число j и постоянная тонкой структуры 1 1.

а = - =-.

с 137.

Внутреннее квантовое число j является собственным значением оператора полного момента и принимает значения j = /±^. Таким образом, каждому значению орбитального квантового числа / соответствуют два значения j, поэтому энергетические уровни оказываются двукратно расщепленными. Только для 5-уровней вырождение отсутствует, гак как при / = 0 имеется только одно 1.

значение / = +—.

^J 2.

Магнитное квантовое число принимает значения в зависимости от внутреннего квантового числа: т = -j> -(j — 1), … (/ + l), j. Оно имеет 2/ + 1 полуцелых значений.

Исходя из приведенных значений квантовых чисел схематично релятивистская энергетическая диаграмма электрона атома водорода имеет вид, представленный на рис. 7.2.

Условное обозначение энергетического уровня включает значение главного квантового числа, буквенное обозначение орбитального квантового числа и справа внизу подстрочным символом значение внутреннего квантового числа — nl.

Рис. 7.2. Релятивистская энергетическая диаграмма атома водорода Энергетическая диаграмма (см. рис. 7.2) и формула (7.12) позволили описать так называемую тонкую структуру спектральных линий водорода, заключающуюся в том, что имеет место расщепление энергетических уровней, наблюдаемое экспериментально, но не предсказываемое решением уравнения Шрёдингера.

При рассмотрении нерелятивистского (3.20) и релятивистского (7.12) выражений для энергии электрона в атоме водорода видно, что релятивистская поправка к энергии пропорциональна величине (—J. Действительно, оказывается, и в других атомах не только энергия, но и другие физические свойства изменяются при учете релятивизма пропорционально заряду ядра в четвертой степени.

Волновые функции электрона в атоме водорода по теории Дирака используют в виде, подобном нерелятивистским функциям:

Функции? являются четырехкомпонентными волновыми функциями, называемыми спинорами. В данном уравнении R_nl радиальная часть волновой функции, — угловая часть, называемая шаровым спинором. В тех случаях, когда спин параллелен орбитальному моменту,) = /+—, а если антипараллелен, то / = /—.

Выразим каждую четырехкомпонентную волновую функцию Т в виде пары двухкомпонентных спиноров Ф и 0:

При этом каждый двухкомпонентный спинор может быть представлен в виде произведения радиальной функции на двухкомпонентную собственную функцию оператора j, зависящую от спиновой и угловых координат:

Собственные функции могут быть выражены в виде сумм прямых произведений уже известных нам собственных функций операторов момента количества движения, проекции спина и соответствующих так называемых коэффициентов Клейна — Гордона

В представленных выражениях У_} ² — сферические гармоники, а функции.

В итоге получаются следующие формы четырехкомпонентных волновых функций: