Приложения теории вычетов

Основная теорема алгебры.

Формула (13) имеет многочисленные приложения. Мы ограничимся лишь одним приложением этой формулы, показав, что всякая целая рациональная функция п-й степени

имеет п нулей, считая каждый нуль столько раз, каков его порядок. Мы знаем, что целая рациональная функция степени п имеет? единственную особую точку — полюс порядка п в бесконечности {гл. VI, § 4, п. 1), т. е. имеем: lim/(z) = оо. Следовательно, суще;

о ствует круг с центром в нулевой точке радиуса R такой, что во всех точках, удовлетворяющих условию z^R_y функция f (z) по модулю больше единицы; таким образом, все нули нашей функции f (z) лежат внутри этого круга: z<^R. На основании формулы (13) предыдущего пункта число всех нулей данной функции будет:

где интегрирование совершается по окружности С упомянутого круга. Остаётся показать, что Л/=я. С этой целью мы заметим, что.

/' (z)

изображает вычет функции ущ относительно бесконечно удалённой точки, а следовательно, N равно этому вычету с обратным знаком. Так как.

исключая бесконечно удалённую точку, то отсюда получаем:

где ф (z) — функция, имеющая в бесконечно удалённой точке нуль не ниже второго порядка. Из соотношения (17) следует, что вычет f‘ (2)

функции у— для бесконечно удалённой точки есть — п. Таким образом, имеем: N=n_y что и нужно было доказать.