Коррекция ошибок. 
Оптические измерения. 
Компьютерная интерферометрия

В силу специфики предложенного метода анализ ошибок с его помощью имеет свои особенности, заключающиеся в том, что целочисленная арифметика требует безошибочных начальных данных. Даже небольшие погрешности в определении фазовых значений в пределах периода приводят к неверным результатам при нахождении полной фазы.

Здесь описываются методы коррекции, которые позволяют преодолеть проблему неустойчивости решения. Эти методы основаны на искусственном ограничении возможного диапазона.

Рассмотрим систему сравнений с т = 53 и т₂ = 63. Решение системы имеет вид (5.7). Все решения системы приведены в табл. 5.4. Видно, что даже в случае ошибки на единицу младшего разряда при измерении h_} или Ь₂ результирующая ошибка при восстановлении полной фазы может быть весьма значительной. Оценим величину этой ошибки [14].

Соседние значения, расположенные вдоль диагоналей, возрастают на единицу. Это следует из теоремы 3.

Теорема 3. При равенстве остатков решением системы сравнений (5.6) является класс чисел по модулю, равному произведению т]т₂ … т_к, с вычетом, равным остатку.

Таким образом, в массиве результатов числа меняются от 0 до min (/H|, т_ъ т_к) по главной диагонали, затем последовательно возрастают по другим диагоналям.

В табл. 5.4 показаны в порядке возрастания чисел первые десять диагоналей. Переход от одной диагонали к другой обозначен стрелками. Если существует некоторая погрешность в определении исходных данных, то находится заведомо неправильная величина полной фазы, поскольку соседние числа в таблице решений отличаются значительно. При одиночной ошибке (в определении единственной координаты by) соседние числа по этой координате отличаются на ± MyNy. Величина отличия вычисляется по модулю, равному произведению ш₉ т₂… т_к.

Однако, если искусственно ограничить максимальный диапазон возможных значений, то появляется возможность коррекции результатов при ошибочном определении исходных значений. Коррекция основана на рассмотрении окрестности точки, значение полной фазы в которой превышает выбранный диапазон. Нами показано, что если ограничить диапазон изменения результата некоторой произвольно выбранной величиной, то в окрестность каждой точки таблицы обязательно попадет точка, значение которой не превышает эту величину. Размер этой окрестности зависит от значений модулей и необходимого диапазона.

Таким образом, если погрешность измерения по всем координатам одинакова и равна /•, то вокруг истинного результата образуется окрестность с радиусом г, в которой расположены числа с заведомо неправильными значениями. Назовем эту область окрестностью грубых промахов.

Рассмотрим рис. 5.8, где показана часть таблицы решений, выделены диагонали, вдоль которых значения последовательно возрастают, вблизи точки С отмечена окрестность грубых промахов, числа из таблицы решений, попадающие в эту окрестность, показаны более крупно.

Если погрешность при определении начальных значений не превышает половины размера окрестности АХ_У АХ₂, то появляется возможность компенсации ошибок. Для этого находится ближайшее в таблице допустимое число. Естественно, что ошибка, связанная с погрешностью измерения исходного значения, остается, но ошибка в определении результата не превышает этой погрешности.

В табл. 5.4 и на рис. 5.8 отмечены диагонали, на которых находятся допустимые значения при ограничении диапазона полной.

Рис. 5.8. Часть таблицы решений системы сравнений с модулями т = 53 и т₂ = 63.

фазы величиной 300. При этом ограничении минимальное расстояние между диагоналями равно 10. Вокруг каждого числа, попадающего в диапазон, образуется окрестность размером AlX~ + 5, состоящая из чисел, превышающих этот диапазон. Таким образом, если абсолютная ошибка при определении Ь, не превышает ± 5, то для рассматриваемого случая она может быть скомпенсирована.

Для коррекции ошибочных значений можно предложить следующий алгоритм [15]. По координатам точки (b_t, b₂,…, Ь_к) находим решение системы сравнений. Если это значение не попадает в выбранный диапазон, находим все решения последовательно в т-м кубе с центром в начальной точке. Размер куба на каждом шаге возрастает на единицу. Этот процесс повторяем до тех пор, пока не найдем точку с координатами (х_ь х₂, …, х_к), для которой решение попадает в заданный диапазон. Очевидно, что максимальный размер куба не превысит размера окрестности грубых промахов. Видно, что для одного вычисления необходимы к умножений и к сложений, где к — число модулей, и одна операция взятия по модулю. Максимальное число таких операций — /, где г — размер окрестности.

Использование алгоритмов восстановления решений системы сравнений, основанных на табличном представлении, позволяет значительно увеличить скорость вычислений. Рассмотрим выражение для определения системы сравнений с тремя взаимно простыми модулями.

Операцию умножения можно устранить, если хранить три массива.

Если взятие модуля осуществлять через вычитание, то количество операций будет существенно зависеть от числа знаков, с которым определены модули. Рассмотрим выражения для решения систем из трех сравнений со значениями модулей (wi=5, т₂=6, т_к~1), (ш| = 53, т2= 63, = 73), (т = 531, т₂ = 631, т₂ = 731):

При решении уравнения (5.9) для одной операции взятия модуля в точке таблицы в среднем требуется 4−5 операций сравнения и столько же операций вычитания, для (5.10) — 30 операций и для (5.11) — 648 операций сравнения и 648 операций вычитания. Значения массивов и произведения модулей хранятся не в целом виде, так как число знаков может превышать число возможных знаков целочисленной переменной. Поэтому время, затраченное на такие операции, значительно. Кроме того, число операций резко растет при увеличении числа значащих знаков при задании модулей. В этом случае время вычислений определяется в основном операциями взятия модуля.

Число этих операций можно сократить, если воспользоваться следующим свойством сравнений [11]:

Если массивы (5.8) хранить в следующем виде:

то при вычислении по формуле (5.12) число сравнений и вычитаний не превысит трех.

Если к — число модулей, то для вычисления в одной точке необходимо к выборок из массива, к сложений, к быстрых операций сравнения и вычитания для взятия модуля. Эти операции необходимо провести в г^к точках окрестности, где г — размер окрестности грубых промахов. Если учесть, что обычно поле фаз имеет размер 512×512 точек, то число вычислительных операций при коррекции каждой точки в таблице решений размерности к очень велико. Поэтому использование прямого перебора точек для окрестности грубых сбоев нерационально.

Нами разработаны несколько быстрых алгоритмов, применение которых позволяет значительно сократить время вычислений. Первый алгоритм основан на сведении Л:-мерной задачи к (к — 1^{мерной.} Анализ окрестности для двумерного случая заменяется анализом значений, расположенных на некоторой прямой (рис. 5.9).

Пусть Хо~ точка с координатами (Ь, Ь₂ для которой решение системы сравнений не попадает в заданный диапазон. Выберем произвольную координату и с последовательно увеличивающимся шагом 1, 2,… будем анализировать точки слева и справа от Х₀. После нахождения точки, решение системы сравнений которой попадает в заданный диапазон (например, Х₂), производится уточнение. Для этого находится координата точки Х_п которая лежит на расстоянии RJ2 вниз, если найденное значение справа, или вверх по допустимой диагонали, если найденное значение слева от точки Х₀.

Вместо поиска значений в трехмерном кубе используется анализ в одной из выбранных плоскостей (рис. 5.10). Для А:-мерного случая поиск производится на (к — 1)-м кубе. На рисунке Х₂ — ближайшая точка, которая принадлежит допустимой диагонали.

В этом алгоритме для каждой точки необходимы одна операция сложения или вычитания и одна операция взятия по модулю. Максимальное число таких операций г .

Дальнейшее сокращение операций возможно, если заметить, что все попадающие в заданный диапазон числа будут лежать на диагоналях, которые начинаются с допустимых значений в нулевой строке или нулевом столбце. На главной диагонали числа в таблице решений последовательно возрастают на единицу. Последовательно вычитая по единице из координат (?_ь Ь₂), находим пересечение с нулевой строкой или столбцом. Затем определяем ближайшее допустимое значение в строке или столбце. Добавляя вычтенную величину, получаем результирующее значение. Для восстановления всех чисел таблицы необходимо хранить два одномерных массива размерностью т и т₂ соответственно. В этих массивах значения между допустимыми точками заполняются ближайшей допустимой величиной.

Для системы сравнений, решения которых приведены в табл. 5.4, необходимо найти допустимые значения в нулевой строке и нулевом столбце. Для этого найдем все д;, попадающие в диапазон, решая сравнение, которое получается из (5.11) при Ь₂ = О.;

Ямс. 5 9. Схема быстрого алгоритма коррекции, основанного на понижении размерности области перебора.

Рис. 5.10. Схема быстрого алгоритма для трех модулей Для нахождения минимального расстояния между допустимыми диагоналями по столбцу используем следующее сравнение:

Существует способ нахождения допустимых значений в нулевых строках и столбцах, основанный на теории непрерывных дробей [16].

Схема второго быстрого алгоритма показана на рис. 5.11. Пусть Хо — точка с координатами (6_Ь Ь₂ для которой решение системы сравнений не попадает в заданный диапазон. Необходимо найти ближайшую к ней точку Х_Г9 решение в которой заведомо попадает в этот диапазон. Для этого необходимо следующее:

• 1. Найти Х- точку пересечения с осью 0&i или с осью ОЬ₂ в зависимости от соотношения между координатами. Если больше первая координата, то координаты точки Хо (Ь — Ь₂, 0), в противоположном случае — (0, b₂-b).
• 2. Найти координаты ближайшего к Х₀ допустимого (входящего в допустимый диапазон) значения Ь'_}. Для этого в компьютере

хранятся массивы координат допустимых значений для каждого из модулей, отсортированные в порядке возрастания. Нахождение координат заключается в выборке этих координат из массива.

3. Найти координаты допустимого значения Х_т. Для этого находится точка Х_2у решение в которой удовлетворяет ограничению, поскольку она лежит на допустимой диагонали. Затем для нахождения более точного значения добавляется или вычитается RJ2 в.

Рис. 5.11. Схема быстрого алгоритма, основанного на использовании массивов допустимых значений в нулевых строке и столбце зависимости от того, где расположена ближайшая допустимая диагональ, — слева или справа от Хо_У где R — расстояние между Х и координатой допустимой точки Ь'_}

Этот алгоритм позволяет достичь очень высокого быстродействия. В нем не используется операция взятия по модулю. Единственными операциями являются операции вычитания, сложения, сравнения для сортировки остатков по возрастанию и выборки из одномерных массивов допустимых значений. Для каждой точки необходимы к вычитаний, к операций сравнения для определения минимального значения координаты точки, одна операция выборки из массива и к сложений для нахождения результирующего значения.

Однако существует возможность достижения еще большего быстродействия. Если непрерывно соединить продолжения диагоналей при последовательном возрастании чисел, можно заметить, что при склейке верхней и нижней горизонтальных строк и левого и правого столбцов образуется тор, показанный на рис. 5.12. Числа расположены на пересечении меридианов и параллелей. Видно, что числа последовательно возрастают по спирали, нанесенной на поверхность тора (рис. 5.13). Спираль покрывает всю поверхность тора. Если ограничить число ее витков, то соседние витки будут находиться на некотором расстоянии друг от друга. На рис. 5.13 показаны примеры расположения допустимых значений на поверхности тора. Эти значения приведены в табл. 5.4.

Если некоторая точка на поверхности тора не принадлежит спирали, то вероятно, что правильное значение находится на ближайшем к ней витке. В этом случае задача сводится к одномерной. Это вытекает из следующих соображений.

Разрежем тор вдоль одного из меридианов, тогда он превратится в круговой цилиндр с двумя краевыми окружностями. Закрепим.

Рис. 5.12. Тор, образующийся в результате склейки таблицы решений.

Рис. 5.13. Расположение чисел на первых десяти допустимых диагоналях в таблице решений.

неподвижно одну окружность и станем закручивать цилиндр вокруг себя так, чтобы вторая окружность сделала к оборотов. Всякая прямолинейная образующая цилиндра при этом обратится в винтовую линию, обходящую ось цилиндра к раз. Если снова склеить оба края, то получим топологическое отображение тора на самого себя. При таком отображении параллели тора превратились в винтообразные кривые и наоборот (Д. Гильберт [17J). Таким образом, задачу поиска ближайшего подходящего значения на допустимых диагоналях можно заменить задачей нахождения ближайшего значения на линиях, перпендикулярных к сторонам таблицы решений.

В этом случае задача нахождения ближайшего допустимого значения сводится к одномерной. Алгоритм состоит из двух частей. Находим пересечение спирали, проходящей через точку (Ь, Ьг> …" Ьк с образующей окружностью тора при bj = 0,.

Ьк = 0. Определяем ближайшее допустимое значение на этой окружности. Затем, добавляя число пройденных целых витков и часть неполного витка, вычисляем допустимое значение в точке.

Схема третьего быстрого алгоритма для системы двух сравнений показана на рис. 5.14.

Рис. 5.14. Схема быстрого алгоритма нахождения системы сравнений сведением к одномерной задаче для двух модулей.

Алгоритм состоит из следующих шагов:

• — для координат (?|, Ь₂) находится индекс / = b — Ъ₂, это значение может быть и отрицательным;
• — производится выборка из массива допустимых значений;
• — для нахождения действительного значения к найденному допустимому значению добавляется Ь₂
• — производится уточнение.

В этом алгоритме отсутствует операция сравнения для определения источника выборки. Вместо выборки из нулевой строки или нулевого столбца производится выборка из одного одномерного массива. Для этого используется продолжение массива допустимых значений в нулевой строке на отрицательные значения индексов. Если используются два модуля — /и, и т₂, то общий размер одномерного массива допустимых значений т + т₂.

Рассмотрим трехмерный случай. Числа в массиве решений располагаются на поверхности гора. Поэтому, если диагональ в каком-либо сечении упрется в левый край, то в следующем сечении она продолжится с крайней правой позиции. Если диагональ дойдет до верхней плоскости, она продолжится на нижней. Это похоже на обороты спирали на поверхности тора для двумерного случая.

Рассмотрим рис. 5.15, на котором показаны решения для набора из трех модулей (т = 3, т₂ = 4, гщ = 5). При этом решение может быть записано в следующем виде:

Рис. 5.15. Решения для набора модулей т_} — 3, т₂ ~ 4, т₃ = 5.

На рисунке выделены значения, расположенные на одной из диагоналей, которая начинается в точке Ь =2, Ь₂ = 3, by — 2 со значения 47. Видно, что диагонали могут заканчиваться не обязательно на гранях, но и в любой другой точке плоскости. Выбранная диагональ заканчивается на плоскости by = 0 в точке Ь = О, b₂ = I со значением 45. Можно заметить, что поскольку диагональ располагается на поверхности тора, продолжение ее находится в плоскости by = 4 в точке Ь = 2, Ь₂ = 0 со значением 44.

Рассмотрим другую диагональ, которая заканчивается в точке b = 1, Ь₂ = 2, by = 0 со значением 10. Ее продолжение — на плоскости by = 4 в точке b = Q, Ь₂ = , далее — в плоскости by = 3 в точке Ь = 2, Ь₂ = 0.

Итак, если каким-либо образом найти значения в ту строках при Ь₂ = 0, то после выборки из соответствующего массива исходное значение определяется простым сложением с начальной координатой Ь₂. Номер массива / определяется как by — b₂ mod (я?з). Индекс j элемента внутри массива равен b-b₂ mod (т).

Для сведения задачи к одномерной рассмотрим рис. 5.16, где показано сечение таблицы решений при Ь₂ = 0. Видно, что числа, расположенные по отмеченным диагоналям (снизу вверх, слева направо), отличаются на величину, определяемую разностью коэффициентов в выражении для решений системы сравнений. Для рассматриваемого случая решение системы определяется выражением (5.14). Коэффициент при by равен MyNy = 36, при b — MN = 40. Разность коэффициентов s = (MN — MyNy) = 4.

Рис. 5.16. Расположение чисел в таблице решений при Ь₂ = 0.

Для восстановления всех значений в этом сечении достаточно хранить только один массив АХ размером т|, в котором записаны решения системы при by = 0, Ь₂ = 0. Координата начального значения в этом массиве определяется как j = i+j mod (mi).

Для нахождения значения в строке by - / производится выборка элемента j из начального массива и вычитается из него величина is. Для устранения операции умножения хранится массив AS размером ту со значениями 0, Is, 2s>… (m₃ — l) s.

Таким образом, для определения значения некоторого элемента в таблице решений для трех взаимно простых модулей в точке с координатами b, b₂, by необходимо:

• — определить i = by — b₂ mod (m₃);
• — определить j = b — b₂ mod (/wi);
• — определить j — i +j mod (mi);
• — искомое значение элемента равной = AXj] + /Щ/'] + Ьг.

В пп. 1 — 3 требуется производить операции вычитания, сложения и нахождения модуля. Операция нахождения модуля в этом случае состоит из нескольких простых операций, которые эффективно выполняются с помощью базовых команд любого компьютера.

Для распространения этого алгоритма на многомерный случай более удобна модификация алгоритма, при которой рассматриваются числа, расположенные на диагоналях, проходящих снизу вверх, справа налево (см. рис. 5.16):

• — определить / = b₂ - by mod (m₂);
• — определить j = b - by mod (mi);
• — определитьj = i —j mod (mi);
• -X = AX[j] + ASP[f + by mod (mm₂my).

ASP- массив размером пь со значениями /-го элемента /(MN + M₂N₂) mod (тт₂ту), где / = 0, 1, …, т₂- 1. В этом случае в п. 4 добавляется операция взятия по модулю, которая сводится всего лишь к одной операции сравнения и, может быть, к одной операции вычитания.

Многомерный алгоритм

1. = by — b_k mod (mO; v₂.i = b₂ — b_k mod (m₂) …; =.

b_tc-i — b_k mod (iniw);

• 2. V1.2 * *i.i — v_k._y! mod (m,); v₂₂ = v*. i i mod (m₂) …; Vic-2,2 = Kfc-2,1 — V/fc-1.1 mod (Ш/с.г); s = s + [M, Ni+M₂N₂ +…+ M_k^N_k^) • • vjt-i. ib mod (m, m₂… m_k)
• 3. v_1t3 = - v_w.2 mod (mO; v_2i3 = v₂ — vv.2.2 mod (m₂); v_k^_t2 =

v*__3<2— ^*-2.2 mod (m*_₃); s = s + (M^N^M₂N₂ +…+ M_k.₂N_k-₂) v_k._2i2 mod (fni'fffe… m_k).

к -1. *-! = Vi. #c—2 —^2. *-2 mod (mO;

s = s + (M, Ni + M₂N₂) v_2k.₂ mod (m_y m₂… m*);

к. X = AX[Vi_ifc.i] +s + b_k mod {m_} m₂… m*).

В предложенном алгоритме вместо анализа г* точек окрестности можно проводить анализ одной точки. Это позволяет на несколько порядков увеличить быстродействие при решении систем сравнений.

Максимальный диапазон, при котором удается устранить фазовую неоднозначность, определяется абсолютной величиной используемых модулей и числом исходных измерений. Чем точнее известны значения модулей, тем в большем диапазоне можно восстановить фазу. Поскольку длина волны когерентного излучения может задаваться с достаточной точностью, методы, основанные на использовании источника освещения с переменной длиной волны, более предпочтительны для задания необходимой цены полосы.

Необходимость коррекции ошибочных результатов приводит к уменьшению максимально возможного диапазона.

Для восстановления полной фазы размер окрестности грубых промахов должен соответствовать погрешности при измерении исходных данных (чем больше погрешность, тем больше должен быть размер окрестности). Например, для т — 53, т₂ = 63 и окрестности с г = 10 возможна ошибка при измерении значений ± 5. Это соответствует допустимой относительной ошибке при измерении оптической разности хода в пределах длины волны ~ 7 %. В этом случае диапазон равен пяти периодам (вместо возможных 53).

При Ш = 531, т₂ = 631 и г = 30 допустимая ошибка в определении исходных данных ~ 2.3%, диапазон — около 19 периодов. При тех же модулях и г = 7 возможная ошибка порядка 0.5%, диапазон — около 80 периодов.

Для трех модулей: т = 53, т₂ = 63, = 73 — при размере окрестности 10 допустимая ошибка порядка 6.8%, а диапазон — 250 периодов.

При т| = 531, т₂ = 631, /"₃ = 731 допустимая ошибка порядка 4%, а диапазон 2600 периодов. При цене полосы 0.5 мкм максимальный диапазон оптического хода волн, который может быть измерен в этом случае, составит более 1.3 мм. При этом погрешность измерений нс должна превышать ЯУ25.

Целочисленный метод устранения фазовой неоднозначности значительно расширяет область фазовой однозначности. При этом увеличение динамического диапазона не приводит к уменьшению точности. Метод не налагает дополнительных ограничений на вид фазового поля и может использоваться при анализе волновых фронтов, значительно отличающихся от опорных. Становится возможным применение интерференционных методик для анализа волновых фронтов, отраженных от объектов с диффузной поверхностью, что позволяет разрабатывать измерительные системы с характеристиками, необходимыми для практического измерения деталей в процессе производства без предварительной шлифовки.

Результирующие алгоритмы легко автоматизируются, позволяют обеспечить динамический диапазон измерений до сотен длин волн без потери точности.