Гетероскедастичность. 
Эконометрика

В результате изучения данной главы студент должен: знать

• • последствия гетероскедастичности ошибок;
• • основные тесты на выявление гетероскедастичности ошибок; уметь
• • проводить диагностику гетероскедастичности ошибок; владеть
• • навыками проведения тестов Уайта, Глейзера, Годфслда — Квандта, Бройша — Пагана в основных статистических пакетах;
• • навыками оценки параметров уравнения регрессий при гетероскедастичности ошибок.

Нарушение гипотезы о гомоскедастичности ошибок

Если в предыдущих главах по преимуществу обсуждались вопросы, связанные с объясняющими переменными, включаемыми в модель, то в настоящей главе речь пойдет о случайных ошибках. В теореме Гаусса — Маркова делается достаточно сильное предположение об одинаковой дисперсии всех ошибок (гомоскедастичность). Однако это предположение далеко не всегда имеет место для реальных данных. Приведем простейший пример, связанный с зависимостью расходов на художественную литературу от общих расходов на индивидуальном уровне. Если общие доходы индивидов невелики, то и расходы на художественную литературу также скорее всего будут невелики, здесь не приходится ожидать особого разнообразия. Если же общие расходы индивидов значительны, то они могут тратить на художественную литературу как очень мало (при отсутствии интереса или времени на чтение или предпочтении электронных носителей), так и очень много. И предположение о гомоскедастичности здесь вряд ли имеет место, как и в других случаях, когда среди объясняющих переменных встречаются доходы индивидов (или что-нибудь аналогичное).

Что же изменится, если мы откажемся от предположения о гомоскедастичности ошибок, а именно, будем считать, что для модели Y = р₀ + +.

+ … + $, X_kl + в_;, i = 1,п, дисперсии ошибок а² не совпадают? В этом случае говорят, что имеет место гетероскедастичность наблюдений.

Отметим, что гетероскедастичность не влияет на МНК-оценки коэффициентов регрессии (см. формулу (5.6)), они остаются несмещенными. Однако в этом случае МНК-оценки уже не являются BEST (наилучшие в классе линейных несмещенных оценок), т. е. их дисперсии не являются минимальными. И, самое главное и неприятное последствие, дисперсии у ошибок разные и уже не имеют общую оценку а² =.

RSS

п — k — 1^,

формулы для стандартных отклонений коэффициентов а|. = 0, 1,k, уже не имеют места. Стандартные формулы расчета^{-статистик} для проверки значимости коэффициентов также в этом случае не имеют места, при их применении могут бы сделаны неверные качественные выводы. Для проверки гипотезы об адекватности регрессии в этом случае не годятся формулы (5.12), (5.13), для проверки общих линейных гипотез неприменима формула (5.16).

Однако в статистических пакетах стандартные ошибки, t- и F-статистики будут посчитаны по традиционным формулам, без учета гегероскедастичности, что, как отмечалось выше, может привести к неверным выводам. Поэтому в оцениваемых моделях обязательно надо проверять условие о гомоскедастичности ошибок, и если оно не выполняется, принимать меры (на них мы остановимся подробнее позднее).

Итак, каким же образом можно выявить, что дисперсии ошибок неодинаковы? Необходимо учитывать, что об одинаковой или разной дисперсии ошибок мы можем судить лишь на основании остатков регрессии e_v …, е_п. Полезно изучить их графики. Если абсолютные величины остатков достаточно сильно различаются, то это может свидетельствовать о гетероскедастичности. Однако для четкого ответа на вопрос, имеет ли место гетероскедастичность остатков, необходимо проводить специальные тесты.

Во всех таких тестах (подробно рассмотренных в следующем параграфе) основная гипотеза Я₀ одна и та же: Н₀: а,² = а² для всех i = 1, п (т.е. дисперсии всех ошибок одинаковы, имеет место гомоскедастичность ошибок), а альтернативные гипотезы, описывающие разные виды гетероскедастичности, отличаются.