Метод конечных элементов

В настоящее время известны различные методы расчета КИН, использованные на использовании МКЭ. Они имеют свои преимущества и недостатки. Рассмотрим некоторые из них.

Прямой метод В этом случае для определения КИН в асимптотические формулы для компонент напряжений и перемещений в вершине трещины непосредственно подставляют возникающие в окрестности вершины трещины напряжения или перемещения, полученные с помощью МКЭ. При использовании напряжений этот способ называется прямым методом напряжений, а при использовании перемещений — прямым методом перемещений. Значения напряжений или перемещений, которые необходимо подставить в формулы, следует выбирать такими, чтобы они были определяющими для рассматриваемого типа деформирования. Например, в случае трещины типа I необходимо подставить компоненту напряжения y, которая действует на оси х в направлении оси у. По сравнению с методом напряжений метод перемещений дает более надежные результаты с точки зрения точности.

Расчет КИН прямым методом требует, чтобы решение для напряжений и перемещений имело достаточно высокую точность в окрестности вершины трещины. При использовании обычных элементов нельзя отразить особенность при приближении непосредственно к вершине трещины. Поэтому нельзя ожидать, что точность расчета напряжений и деформаций в окрестности вершины трещины будет высокой. Следовательно, установленные по этим параметрам КИН также будут иметь не слишком хорошую точность. Поэтому при определении КИН с помощью обычных элементов необходимо предусмотреть меры, позволяющие улучшить точность решения. К таким мерам можно отнести следующие.

• (1) У вершины трещины, насколько это возможно, желательно использовать разбиение на малые элементы (мелкую дискретизацию).
• (2) Часто могут возникать ситуации, например при решении трехмерных задач, когда разбиение на мелкие элементы оказывается нерациональным с точки зрения вычислительных ресурсов. В таких случаях сначала находят решения для грубого разбиения, а затем выделяют окрестность вершины трещины, выполняют мелкое разбиение и решают задачу. При этом в качестве граничных условий используют перемещения узлов и узловые силы, полученные в предыдущем решении. Такой способ решения называют поэтапным.
• (3) Используя асимптотические формулы для компонент напряжений и перемещений в вершине трещины, в точках, расположенных на различных расстояниях r от вершины трещины, расчетным путем определяют значения К и строят график зависимости К от r. Искомое значение К, соответствующее рассматриваемой трещине, принимают равным тому значению, которое получается в результате экстраполяции при r 0 (рис. 63). Следует иметь в виду, что значения К, соответствующие точкам, наиболее близко расположенным к трещине, обладают не очень хорошей точностью. Поэтому при проведении экстраполяции эти значения исключают.

Рис. 63. Оценка КИН путем экстраполяции

(4) Используют всевозможные разбиения от грубых до мелких и определяют значения К, проводя так же, как в п. 3, экстраполяцию при r 0.

В пп. (1) и (3) дискретизация выполняется один раз, а в пп. (2) и (4) — несколько раз, что затрудняет решение задачи. Пункты (1) и (3), а также их сочетание можно отнести к таким методам оценки К, когда необходимо, используя обычные элементы и не выделяя особенностей, довольно быстро определить КИН. В других случаях необходимо использовать специальную дискретизацию.