Решение дифференциальных уравнений путем сведения их к разностным
Если x (t) = 0 при t < 0, то изображение по Лапласу аналогового сигнала x (t) ^ Х (р) и в соответствии с теоремой смещения (см. параграф 8.40) изображение функции x (t-t0)^e~PtoX (p). Аналогично если последовательность х (п) (при п < 0 х (п) = 0) соответствует X{z), то последовательности х (п — 1) будет соответствовать 2-ЩХ), а последовательности. Первая производная по времени от непрерывной… Читать ещё >
Решение дифференциальных уравнений путем сведения их к разностным (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами может быть сопоставлено разностное уравнение.
Первая производная по времени от непрерывной аналоговой функции y (t) может быть аппроксимирована конечной разностью.
и.
Вторая производная.
Аналогично определяют производные и более высоких порядков.
d2y (t) dy (t).
В качестве примера запишем уравнение —-4— + 2^-— + 3y (t) = mx (t).
dt2 dt.
с начальными условиями y (0_) = 0 и составим соответствующее ему разностное уравнение:
или.
По уравнению (П7.4) можно последовательно определить значения у (п), придавая значения п сначала 0, затем 1, 2, 3 и т. д. и учитывать при этом, чтоу (-1) = у (-2) = 0, ах (0), х (1), х (2), … известны. Рассмотрим пример.
Пусть в (П7.4) Т = 1, m = 1, л:(0) = 1, х (1) = 2, х (2) = 3 и т. д. Тогда уравнение запишем так:
при п = 0 6у (0) -4−0 + 0 =х (0) = 1, отсюдау (О) = 1/6,.
при п = 1 6у (1) — 4у (0) +у (—1) =х (1) = 2, находиму (1) = 4/9,.
при п = 2 6у (2) — 4у (1) +у (0) -х{2) = 3, следовательно, у (2) = 83/18 и т. д.
Дискретная свертка
Положим, что при нулевых начальных условиях на вход некоторого аналогового четырехполюсника (рис. П7.2, а) воздействует аналоговое напряжение u^t) =x (t), а импульсная переходная функция четырехполюсника (реакция на импульс единичной площади в виде 5-функции) h8(t) известна. Тогда напряжение на выходе четырехполюсника и2(0 = = у (0 определим по одной из форм записи интеграла Дюамеля:
(полагаем x (t) = 0 и h8(t) = 0 при t < 0). Аналогом этих формул, когда сигнал взят в цифровой форме, являются формулы.
Рис. П7.2
Теорема смешения для цифрового сигнала
Если x (t) = 0 при t < 0, то изображение по Лапласу аналогового сигнала x (t) ^ Х (р) и в соответствии с теоремой смещения (см. параграф 8.40) изображение функции x (t-t0)^e~PtoX (p).
Аналогично если последовательность х (п) (при п < 0 х (п) = 0) соответствует X{z), то последовательности х (п — 1) будет соответствовать 2-ЩХ), а последовательности.
Формула (П7.7) следует из (П7.3) с учетом того, что функция х (п — — т) = 0 при п < 0.
Таким образом, умножение функции X (z) на z~m означает задержку ее на т интервалов дискретизации Т.