Введение. 
Волны в периодических структурах

Распространение волны в среде с периодически меняющимися свойствами (многослойные акустические или световые фильтры, замедляющие системы, цепочечные фильтры и т. д.) сопровождается появлением особенностей, наиболее заметных, когда длина волны сравнивается с периодом изменения свойств системы.

Сплошная среда со слабыми периодическими неоднородностями

Пусть c2(x) = c02[1 — cos (2Kx)], где К = /а, а — пространственный период неоднородностей. Если || << 1, то неоднородность слабая, запишем в этом случае волновое уравнение (1.1) в виде.

.

Если в среде распространяется гармоническая волна u (t, x) = A (x)exp (-it), то для ее амплитуды получаем уравнение.

. (4.1).

Будем искать решение уравнения (4.1) в виде ряда по малому параметру :

Подставляя соотношения (4.2) в волновое уравнение (4.1) и собирая слагаемые, пропорциональные 0 и 1, получим.

(4.3).

. (4.4).

Уравнение нулевого приближения (4.3) имеет решение в виде.

A0 = B1exp (ik0x) + B2exp (-ik0x),.

тогда правая часть уравнения (4.4) принимает вид.

. (4.5).

Рассмотрим два случая. Если k0 K, то решение уравнения (4.4) с правой частью в виде (4.5) как сумма свободных и вынужденных колебаний имеет вид.

.

Здесь имеется слагаемое, модуль которого при k1 0 неограниченно растет, что не имеет физического смысла. Поэтому следует брать k1 = 0, = c0k0, то есть поправка к частоте в неоднородной частоте при k0 K отсутствует.

Если же k0 = K, то выражение (4.5) принимает вид.

.

Слагаемые, пропорциональные, также приведут к неограниченному росту решения уравнения (4.4) вдоль оси х (резонанс). Чтобы решение было ограниченным, необходимо выполнение следующих условий:

2k1B1 + k0B2/2 = 0, k0B½ + 2k1B2 = 0.

Эта система линейных относительно B1 и B2 уравнений имеет нетривиальное решение при условии равенства нулю определителя системы.

.

что в соответствии с уравнением (4.2) дает поправку первого приближения к частоте при k0 = K:

= c0k0 c0k0/4. (4.6).

Учет следующих поправок изменит зависимость (k0) при k0 K, но разрыв вида (4.6) при k0 = K останется, то есть появляется запрещенная полоса частот 0/2 (рис. 4.1). Волны с частотами, лежащими в этой полосе, в системе быстро затухают. Заметим, что условие k0 = K означает, что = а/2, то есть имеется брегговское отражение и взаимодействие прямой и обратной волн.

Рис. 4.1. Дисперсионная кривая

Рис. 4.2. Решения уравнения Матье