Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях

Общие определения.

Дифференциальным уравнением называют уравнение, содержащее производные либо дифференциалы неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной независимой переменной и содержит только обыкновенные производные, дифференциальное уравнение называют обыкновенным. Если неизвестная функция зависит от нескольких независимых переменных и содержит частные производные, это — уравнение с частными производными. Порядком дифференциального уравнения называется высший порядок производных или дифференциалов, входящих в уравнение.

Интеграл дифференциального уравнения — уравнение (или несколько уравнений) для неизвестной функции, не содержащее производных и обращающее в тождество исходное дифференциальное уравнение. Нахождение интегралов дифференциального уравнения называют его интегрированием. Интеграл, явно выражающий неизвестную функцию через независимые переменные — решение дифференциального уравнения.

Интегралы дифференциального уравнения, вообще говоря, содержат постоянные величины или функции, которые могут быть выбраны произвольно (произвольные постоянные или функции). Таким образом, интегралы дифференциального уравнения определяются неоднозначно. Обычно на неизвестные функции накладывают добавочные, так называемые начальные или граничные условия, заключающиеся в том, что неизвестные функции, а также, возможно некоторые их производные должны принимать заданные значения при определенных значениях независимых переменных. При этих добавочных условиях решение может оказаться однозначным. Интеграл дифференциального уравнения является общим, если из него может быть получен надлежащим выбором произвольных постоянных или функций определенный частный интеграл, соответствующий любым начальным и граничным условиям (допускающим однозначное решение).

Как правило, в физике приходится решать дифференциальные уравнения второго порядка. Канонический вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

где у — неизвестная функция, х — независимая переменная. Его общее решение содержит 2 независимых произвольных постоянных:

Эти постоянные могут определяться из начальных условий в точке .то.

тогда мы имеем задачу Коши. Возможно определение произвольных постоянных по заданным значениям функции на краях области определения

тогда мы имеем краевую задачу. Возможна ситуация, что уравнение несовместимо с дополнительными условиями, тогда соответствующая задача однозначного решения не имеет.

Один из основных методов интегрирования дифференциальных уравнений — метод замены переменных, приводящей к понижению порядка уравнения. Для физики это имеет особое значение, ибо именно наличие сохраняющихся величин — так называемых интегралов движения (энергии, импульса, момента) — позволяет понизить порядок уравнений движения.