Волновые решения уравнений для электродинамических потенциалов

Унитарная калибровка

Как уже отмечалось ранее (1.7) электромагнитное поле может распространяться в вакууме вне создающих его токов и зарядов в виде электромагнитных волн с фазовой скоростью С, не зависящей от системы отсчета, либо (как будет показано ниже) в виде волновых пакетов. В связи с необходимостью исследования таких волн возникает необходимость в построении максимально удобного математического аппарата для электромагнитных волн, распространяющихся в вакууме. Начнем построение этого аппарата с анализа уравнений Максвелла для потенциалов (§ 3.3) в пустом пространстве, .

В самом общем (неоткалиброванном) виде эти уравнения есть:

(2.1).

(2.2).

Проверим их экспресс-анализ.

(2.3).

откуда следует.

(2.4).

(2.5).

Представим вектор-потенциал в виде суперпозиции продольной и поперечной частей.

(2.6).

Пусть.

— единичный вектор вдоль направления распространения волны. Тогда — плоскости, ортогональной, то есть. Перепишем (2.4), (2.5) через разложение (2.6).

(2.7).

Перегруппировывая члены и приводя подобные в (2.8), получим.

(2.9).

Второй член в (2.9) равен нулю в силу полученного в п. 1 дисперсионного соотношения, после чего (2.9) совпадает с (2.7), в силу чего тождественно обращается в нуль.

Таким образом предположение (2.6) о структуре вектор-потенциала поля подтвердилось. Кроме того, получено уравнение связи между и (2.7). Найдем выражение для напряженностей полей через, , для чего используем стандартные формулы п. 3.

которые после экспресс-анализа принимают вид.

(2.10).

(2.11).

Подставляя (2.7) в (2.10) и устраняя в (2.11) равные нулю члены приведем эти уравнения к простой форме.

(2.12).

(2.13).

Из (2.12), (2.13) видим, что продольная компонента векторного потенциала и скалярный потенциал не входят в выражение для напряженностей полей, , частоты волн, а следовательно создаваемой волной силы Лоренца действующей на пробные заряды и токи. Поэтому для электромагнитных волн величины, не входящие в уравнение волнового поля (2.12), (2.13), являются не наблюдаемыми математическими фантомами!

Докажем существование калибровки, в которой величины, полагаются равными нулю. Эта калибровка называется унитарной, и соответствующим образом откалиброванные поля приобретают индекс .

Ранее в п. 3 было доказано существование лоренцевой калибровки (математическим величинам в этой калибровке сопоставим индекс L). В калибровке Лоренца (3.22).

справедливы следующие (волновые) уравнения для потенциалов свободного поля.

(2.14).

Перейдем от калибровки Лоренца к унитарной, используя общее правило преобразования потенциалов от одной калибровки к другой (3.26).

(2.15).

(2.16).

Унитарную калибровку определим тремя ковариантными требованиями.

(2.1).

Заметим, что последнее требование при экспресс-анализе дает или. Покажем, что функция, осуществляющая переход от Лоренцевой калибровки к унитарной в (2.15), (2.16) существует и отлична от нуля. Действительно, из (2.15), (2.1) следует, что.

.

откуда для получается выражение.

(2.2).

где — произвольная функция координат.

Возьмем div от (2.16) с учетом определения (2.1).

(2.19).

действуя оператором на (2.2) и подставляя (2.19) для, получим.

(2.20).

Подставляя в (2.20) первое из уравнений (2.14), интегрируя по времени t.

.

получим уравнение.

(2.21).

где член в круглых скобках равен нулю, по определению калибровки Лоренца.

Требованию.

всегда можно удовлетворить, находя решение уравнения Пуассона, исчезающее вместе с источником. Поэтому можно удовлетворить и эквивалентному ему уравнению (откуда следует совместимость условий унитарной калибровки с условиями калибровки Лоренца (3.22)). То есть унитарная калибровка существует при тех же условиях, что и калибровка Лоренца.

Однако необходимо сделать следующие замечания — обычно калибровка уравнений Максвелла — это одно дополнительное условие, которое накладывается на четыре функции,. Унитарная калибровка — это два дополнительных условия на те же четыре функции. Эта калибровка существует, если однозначно выражается через, то есть если уравнения (2.14) для потенциалов однородны и не содержат источников. После наложения унитарной калибровки от четырех функций остается две независимых, соответствующим двум остающимся степеням свободы поля, то есть описываемые двумя независимыми функциями. Обращаясь к исходным уравнениям для электромагнитных потенциалов (2.1), (2.2) и накладывая на них унитарную калибровку (2.16) получаем уравнения для потенциала.

и соответствующие им выражения для напряженностей поля.

Уравнения (2.22), (2.23) есть уравнения для электромагнитных волн в унитарной калибровке и, очевидно самое простое из возможных их описаний.