Уравнения Максвелла в калибровке Лоренца

уравнение заряд движение электромагнитный Теперь мы можем получить «уравнения движения», т. е. уравнения для нахождения потенциалов электромагнитного поля, порожденных 4-вектором тока jk. Для этого запишем функционал (интеграл действия), который будем варьировать.

(1.3.1).

(1.3.2).

Первый интеграл по гиперповерхности Sk обращается в нуль по тем же причинам, что и последний интеграл в выражении (1.4.4). Итак, мы получаем окончательную систему уравнений для 4-потенциала Ai.

(1.3.3).

Система уравнений (1.3.3) представляет собой уравнения Максвелла в калибровке Лоренца. Ее классический вид.

(1.3.4).

Таким образом, новое выражение для плотности лагранжиана приводит к правильным уравнениям электродинамики (уравнения Максвелла в калибровке Лоренца).

Как известно, плотность тока определяется скоростью движения объемной плотности зарядов j = сv. Плотности тока и плотности заряда отвечает уравнение непрерывности.

(1.3.5).

Теперь можно получить условие калибровки Лоренца для уравнений (1.3.4). С этой целью мы подействуем оператором на уравнение для векторного потенциала, А в системе (1.3.5), а также подействуем оператором на уравнение для скалярного потенциала в системе (1.3.5). После сложения получим:

Из этого выражения вытекает, в частном случае, условие калибровки Лоренца. Более общий случай оставляем для анализа читателям.

Выражения Ai /xi = 0 (калибровка Лоренца) и ji /xi = 0 (уравнение непрерывности для 4-тока) необходимо добавить к уравнениям (1.3.3). В результате мы имеем полную систему уравнений Максвелла. Разве этот вывод уравнений Максвелла в калибровке Лоренца сложнее, чем в [1]? Напротив, оно проще и компактнее.

Заметим, что отсюда следует понятие «градиентная инвариантность», упоминающаяся в «Теории поля» Ландау и Лифшица. В книге справедливо замечено, что условие Лоренца Ai /xi = 0 позволяет исключить одно из 4-х скалярных волновых уравнений («градиентная инвариантность»).