Дифференцирование сложной функции

Правило дифференцирования сложной функции

Теорема 9.5. Пусть функция д: = ср (/) имеет производную в точке f₀, а функция у = f{x) имеет производную в соответствующей точке х₀ = ф (/₀). Тогда сложная функция /(ф (/)] имеет производную в точке /₀, и справедлива следующая формула:

Доказательство. Согласно определению дифференциала функции в точке и формуле (9.8) при х — х₀ имеем:

В свою очередь дифференциал функции х = <�р (/) в точке /₀

Подставляя это выражение в предыдущее равенство, получаем:

Поделив обе части последнего равенства на d/, получаем формулу (9.26), что и завершает доказательство теоремы. ?

В теореме 9.5 рассмотрена суперпозиция двух функций, где у зависит от / через промежуточную переменную д:. Возможна и более сложная зависимость с двумя и более промежуточными переменными, однако правило дифференцирования сложной функции остается то же. Например, если у = /(*), х = <�р (и), и = у (/), то производная у' (t) вычисляется по формуле.

Рассмотрим несколько примеров на дифференцирование сложной функции.

1. Найти производную функции у — tg (x³).

Эту функцию можно представить через промежуточную переменную и как у = tg w, и = *³. Тогда по формуле (9.26) имеем:

2. Найти производную функции у-е^^Ах.

Здесь функция представляется с помощью трех промежуточных переменных: у = е^и_у и = v², v = tg w, w = Ах.

Применяя правило (9.27) дифференцирования сложной функции, последовательно получаем:

3. Найти угол наклона к оси Ох, касательной к графику функции у — e~^{sin Зх} + + tg Ах в точке х = 0.

Данная функция является суммой двух сложных функций, представляемых через промежуточные переменные как.

Применяя правила дифференцирования суммы функций и сложных функций, получаем:

Поскольку тангенс угла наклона касательной к оси Ох при х = 0 равен значению производной в этой точке, из последнего равенства, подставляя в него х — 0, получаем:

откуда ф = arctg 1 = 45°.

Инвариантность формы первого дифференциала

Как мы установили в п. 9.3.1, в случае, когда аргумент х является независимой переменной, дифференциал функции определяется формулой (9.8).

Докажем инвариантность формы первого дифференциала, т. е. универсальность и применимость этой формулы и в том случае, когда аргумент дг является функцией другой переменной /.

Пусть функция у =/(*) дифференцируема в точке *, а аргумент* является дифференцируемой функцией аргумента /, т. е. * = ф (/). Тогда у — сложная функция у — / [ф (/)] аргумента / (* — промежуточная переменная). В силу теоремы 9.5 имеем:

Поскольку / — независимая переменная, по формуле (9.8) записи дифференциала для функции у получаем:

Аналогично для дифференциала функции * = (р (г) имеем d* = <�р'(/) dr. Подставляя это выражение в формулу (Б), получаем dy =y'(x)dx, т. е. опять приходим к формуле (А) дифференциала для функции у, как если бы аргумент * был независимой переменной.