Экспресс-анализ свободных уравнений Максвелла

В пункте 1.1. было показано, что уравнения Максвелла для свободных полей тождественными преобразованиями приводятся к волновым уравнениям (1.4), (1.5). Их решение можно искать в виде суперпозиции плоских волн.

Дальнейшей целью этого анализа является:

построение дисперсионного соотношения.

.

нахождение связи между векторами, и закона их относительного пространственного расположения в электромагнитной волне.

Подстановка (1.6) в уравнение (1.4), (1.5) позволяет свести дифференциальные уравнения к алгебраическим с помощью равенств.

(1.7).

После этой замены уравнения Максвелла для электромагнитных волн в форме (1.1) принимают вид:

.

.

Из алгебраических уравнений (1.8) следуют выводы:

Электромагнитные волны поперечны, то есть,. (волновой вектор, по определению ориентирован вдоль направления распространения волны).

Векторы и взаимно перпендикулярны, как видно непосредственно из уравнений для векторных произведений и .

То есть имеет место следующая пространственная картина расположения волновых векторов в виде ортогональной тройки векторов Рис. 1 Взаимное расположение векторов, , в электромагнитной волне

Для получения дисперсионного соотношения выразим через одно из векторных произведений (1.8).

и подставим во второе.

(1.9).

Раскрывая двойное векторное произведение в (1.9), получаем уравнение.

откуда с учетом (1.8) следует, что.

(1.10).

Из тех же уравнений для векторных произведений в (1.8) следует, что при.

, где и следовательно, .

Вычислим поток энергии в электромагнитной волне.

(1.11).

где.

ассоциируется, таким образом, с направлением потока энергии в электромагнитной волне.