Движение заряженной частицы в поле плоской электромагнитной волны

Релятивистское движение частицы в плоской электромагнитной волне

Решение уравнения движения с использованием векторного потенциала

В отсутствие свободных зарядов скалярный потенциал электромагнитного поля равен нулю [25, с. 445], поэтому векторный потенциал поля удовлетворяет так называемой кулоновской калибровке:

(2.1).

Через векторный потенциал выражается напряженность электрического и магнитного полей:

(2.2).

Напряженности электрического и магнитного поля и векторный потенциал все вместе удовлетворяют волновому уравнению вида [25, с. 447].

(2.3).

где на месте могут стоять компоненты, и .

Амплитуда плоской волны зависит только от одной пространственной координаты и времени. В качестве такой координаты выберем z и введем для удобства переменную:

(2.4).

Из (2.1) получаем.

.

т.е. продольная компонента не меняется вдоль направления распространения волны. Кроме того, из (2.4) следует соотношение.

.

поэтому. Мы вправе выбирать любой постоянный уровень, при этом поля (2.2) не изменяются. Выберем.

(2.5).

Далее, учитывая (2.5), по (2.2) находим (см. [4, § 47]):

, (2.6).

где, в согласии с (2.4),.

(2.7).

Релятивистское уравнение движения частицы с массой m и электрическим зарядом q выражается из второго закона Ньютона [4, § 17].

где импульс частицы равен [4, § 9].

(2.9).

Полная энергия частицы.

(2.10).

меняется со временем по формуле [4, § 17].

(2.11).

Из (2.9)-(2.10) получаем соотношение [4, § 9]:

(2.12).

С учетом (2.6) и (2.7) из (2.8) и (2.11) получаем.

(2.13).

(2.14).

Интегрируя (2.14), получаем:

(2.15).

где — положительная константа.

Если подразумевать координату z как взятую в момент времени t для переменной ф (2.4), то после дифференцирования (2.4) имеем:

(2.16).

Поэтому, воспользовавшись (2.16), из (2.13) легко получаем (см. [4, § 47]):

(2.17).

где и — константы интегрирования (компоненты обобщенного импульса в формализме гамильтоновых уравнений). Компоненту импульса отыскиваем из (2.10) с использованием равенств (2.15) и (2.17):

(2.18).

где. Из (2.12) и (2.15) выражаем скорость частицы:

(2.19).

Из (2.19) компоненту скорости можно выразить через компоненту импульса, поэтому (2.16) представимо в форме.

(2.20).

учтя которую вместе с выражением (2.19), получаем.

(2.21).

Интегрируя последнее выражение с учетом (2.17) и (2.18), получаем выражения для координат заряженной частицы [4, § 47]:

(2.22).

где, , задают положение частицы в начальный момент, т. е. .

Далее из (2.17), (2.12) и (2.10) получаем.

(2.23).

Формально константа не определена, однако писать скалярное произведение в (2.22) является допустимым, т.к. при этом умножается на равную нулю компоненту. Из (2.15), (2.12) и (2.10) выражаем:

(2.24).

Таким образом, константы, и учитывают начальные условия — скорость частицы и величину векторного потенциала в точке, где пребывала частица. Постоянная является интегралом движения, согласно теореме Лоусона-Вудварда [26−27]. Она сохраняет величину и в присутствии магнитного поля в направлении распространения электромагнитной волны, поскольку при такой конфигурации магнитного поля энергия и компонента импульса не изменяются — это играет главную роль в проявлении эффекта авторезонансного движения заряженной частицы в поле плоской монохроматической волны, что было теоретически предсказано в [28−29] и изучено численно, например, в [30].

В силу своей общности формулы (2.22) можно попробовать осторожно применить не только для переменного электромагнитного поля, но и для постоянного электрического поля. Пусть оно направлено вдоль оси x и равно. Из (2.2) его векторный потенциал можно восстановить в виде:

, .

Тогда для изначально покоящейся частицы, возникшей в таком поле, из (2.23). С учетом связи (2.4), т.к. координата z не меняется в процессе движения, вдоль x получаем обыкновенное равноускоренное движение:

, .

Подробнее о движении частицы в постоянном электрическом поле см. [4, § 20].