Критерий прочности Губера — Мизеса

Выделим в окрестности точки тела бесконечно малый параллелепипед, рёбра которого параллельны осям декартовой системы координат (рис. 3.1). В общем случае на гранях этого параллелепипеда будут действовать нормальные напряжения, , и касательные напряжения, ,, ,, (рис. 3.1, а). Из данных величин можно составить матрицу напряжений

(3.1).

элементы которой называются компонентами тензора напряжений в данной системе координат. По закону парности касательных напряжений.

, .

Поэтому матрица напряжений (3.1) является симметрической:

. (3.2).

У неё только шесть независимых элементов.

Рис. 3.1. Напряжённое состояние в точке тела:

а — общий случай; б — случай всестороннего сжатия.

Сумма диагональных элементов любой матрицы называется следом матрицы и обозначается через. Матрица с нулевым следом называется девиатором и обозначается через. Корень квадратный из суммы квадратов всех элементов матрицы называется её нормой и обозначается как. Например, для матрицы (3.2).

(3.3).

. (3.4).

Следует подчеркнуть, что все введённые здесь понятия имеют смысл для любой матрицы, а не только для матрицы напряжений.

Величина.

(3.5).

называется средним напряжением. Используя единичную матрицу.

.

след которой, матрицу (3.2) можно представить в виде.

. (3.6).

Поскольку.

.

матрица в (3.6) является девиатором матрицы напряжений. Очевидно, что у матрицы только пять независимых элементов.

При всестороннем сжатии (рис. 3.1, б) матрица напряжений имеет вид.

.

где — гидростатическое давление (при всестороннем растяжении). При этом все элементы девиатора матрицы напряжений (3.6) равны нулю. Как показывает опыт, при таком виде нагружения любой материал деформируется упруго. Поэтому переход в пластическое состояние может произойти только при отличном от нуля девиаторе матрицы напряжений .

По условию пластичности Губера — Мизеса (четвёртой теории прочности).

(3.7).

где — некоторая постоянная. Когда в (3.7) выполняется строгое неравенство, материал деформируется упруго. Знак равенства соответствует предельному состоянию начала пластического деформирования.

Критерий прочности (3.7) допускает простую геометрическую интерпретацию. Для любого напряжённого состояния в данной точке тела девиатору матрицы напряжений можно поставить в соответствие вектор напряжений с пятью независимыми компонентами, длина которого. Пока приложенные к телу нагрузки таковы, что конец вектора находится внутри сферы радиусом (рис. 3.2, а), имеет место упругое состояние. Когда по мере увеличения приложенных нагрузок конец вектора достигает сферы радиусом (рис. 3.2, б), наступает предельное состояние в данной точке тела.

Чтобы определить значение постоянной для данного материала, достаточно провести испытания на растяжение (рис. 3.3), при которых.

,.

.

Рис. 3.3. Испытание образца материала на одноосное растяжение

Отсюда получаем.

.

Следовательно, для предельного состояния в соответствии с (3.7).

.

С другой стороны, наступление пластического состояния при одноосном растяжении (сжатии) характеризуется пределом текучести :

.

Сравнивая последние два равенства, находим.

.

Это позволяет переписать критерий (3.7) в виде.

. (3.8).

В сопротивлении материалов левая часть (3.8) называется эквивалентным напряжением, а правая часть — допускаемым напряжением :

,. (3.9).

В то же время по ряду причин допускаемое напряжение нельзя принимать равным пределу текучести (необходимо иметь некоторый запас прочности на случай возможных перегрузок в процессе эксплуатации, неточного изготовления детали, отклонения свойств применяемого материала от тех свойств, которые установлены при испытании образца и т. д.). Поэтому для пластических материалов принимают следующее значение допускаемого напряжения:

(3.10).

где — коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести; этот коэффициент всегда больше, чем единица. Например, в строительных машиностроительных конструкциях обычно = 1.5.

Таким образом, в общем случае напряжённого состояния критерий прочности имеет вид.

. (3.11).