Найти производную у данной функции у

Найти производную у данной функции у а) б) в).

• г) д)
• е) ж)

Решение. А).

• Б)
• В)
• Г)

Д).

Е) Логарифмируем обе части:

По свойству логарифма:

Дифференцируем обе части:

Умножим обе части на y.

Так как, то.

Ж) Данная функция задана неявно. Дифференцируем обе части, считая y функцией от х:

З) Данная функция задана параметрически. Формула дифференцирования имеет вид:

Находим производные от х и у по t:

Итак,.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y=f (x)

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y=f (x) и, используя результаты исследования построить график:

.

Решение.

• 1. Область определения функции — вся числовая прямая, кроме х = 3, так как при х = 3 знаменатель обращается в ноль.
• 2. Область определения не является симметричной относительно начала координат, поэтому функция не может быть симметричной (относительно начала координат либо относительно оси Оу), следовательно, данная функция общего вида.
• 3. Если х = 0, то у = 5/3, следовательно, с осью Оу график пересекается в точке (0; 5/3)

Если у = 0, то есть х² — 5 = 0, откуда х =, следовательно, с осью Ох график пересекается в точках.

4. Функция имеет точку разрыва. Определим тип разрыва при помощи односторонних пределов:

Односторонние пределы в точке разрыва бесконечны, следовательно, это точка разрыва второго рода, а прямая х = 3 — вертикальная асимптота.

Определим, имеет ли функция наклонную асимптоту. Искать ее будем в виде.

у = kx + b.

где.

Итак у = х + 3 — наклонная асимптота.

Горизонтальной асимптоты нет, так как есть наклонная.

5. Исследуем функцию на монотонность и экстремум при помощи первой производной.

Найдем критические точки функции из уравнения y' = 0.

Уравнение имеет два действительных корня: х = 1 и х = 5. Определим знак производной в интервалах, на которые разбивают критические точки область определения:

Так как знак производной при переходе через критические точки меняется, то.

х = 1 — точка максимума, так как возрастание сменяется убыванием, х = 5 — точка минимума, так как убывание сменяется возрастанием.

Y_max = 2, y_min = 10.

6. Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость при помощи второй производной.

Вторая производная не равна нулю ни при каких х, принадлежащих области определения функции, поэтому точек перегиба иметь не может.

Видим, что при x < 3 вторая производная принимает отрицательный знак, следовательно при график выпуклый.

при x > 3 вторая производная принимает положительный знак, следовательно при график вогнутый.

На основании исследований строим график: