Число обусловленности. 
Численные методы. 
Основы научных вычислений

Как мы обсуждали раньше, мы имеем исходную задачу Ах = f и возмущенную задачу А (х + 5х) = f + 5f, где 8f представляет теперь суммарное возмущение вектора правой части и матрицы А. Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, как возмущение 8f передается в возмущение решения 8х, т. е. оценить величину.

Перепишем это выражение в виде Из выражений (3.1) и (3.4) следует, что.

Если подставить эти оценки в предыдущее выражение, мы получим.

ИЛИ.

Величина.

называется стандартным числом обусловленности. Это число оценивает максимальный коэффициент усиления возмущения 5f. Если cond (A) относительно мало, то система (3.1) хорошо обусловлена и возмущение решения бх также относительно мало. Например, если ||6f||/||f|| ~ 10^-14 и нас удовлетворяет ||5х||/||х|| - 10 ^Г), тогда cond (A) ~ 10⁸ вполне приемлемо. Если cond (A) относительно большое, тогда мы сталкиваемся с плохо обусловленной системой и требуются специальные методы, для того чтобы получить приемлемый результат.

Пример 3.1 (плохо обусловленная система) Рассмотрим следующую систему линейных уравнений:

Точное решение этой системы х = (0, …, 0, 1)^т. Предположим, что только последняя компонента вектора f возмущена: 5f = (0,…, 0, б)¹. Матрица, А верхняя треугольная, поэтому система (3.4) может быть легко решена относительно вектора бх. Учитывая, что Ах = f, система (3.4) преобразуется в Абх = 6f. Распишем эту систему более подробно (бх = (p_h …, p_N)^T):

Данная система просто решается обратной подстановкой, которая даст следующее решение:

Теперь мы имеем все вектора, чтобы вычислить коэффициент усиления, определенный в (3.5). Выберем векторную норму II? ||оо, тогда.

и.

Например, еслиЛГ=102и5=10 ¹⁴, тогда.

Система (3.6) является примером плохо обусловленной си;

стемы.

Непосредственное вычисление числа обусловленности весьма затруднительно, так как требует вычисления обратной матрицы. Поэтому обычно прибегают к оценке этого числа. В некоторых случаях оценка для числа обусловленности может быть получена довольно просто. Пусть матрица, А может быть представлена в следующем виде:

где || Н || < 1. Тогда И.

Следовательно,.

Матрицы со строгим диагональным преобладанием могут быть представлены в виде (3.7).

3.6. Прямые методы В этой части мы рассмотрим прямые методы. Отличительная особенность этих методов состоит в том, что, пренебрегая ошибками округлений, они дают точное решение после конечного числа операций. Далее мы обсудим лишь основные принципы прямых методов.