Преломление на сферической поверхности

Рассмотрим преломление лучей на сферической границе раздела двух прозрачных сред с показателями преломления п и /?' (см. рис. 2.1). Падающий луч АО и преломлённый ОЛ проходящий через центр кривизны С сферической поверхности, лежат на одной прямой. Примем луч АЛ' за ось симметрии сферы. По закону преломления наклонный луч АЕ преломится в луч, лежащий в одной плоскости с АЕ и нормалью ЕС к поверхности в точке падения. Следовательно, и падающий луч АЕ, и преломленный ЕА1 лежат в плоскости, проходящей через оптическую ось, — меридиональной плоскости. Из треугольников АЕС и СЕА' по теореме синусов.

т. е.

С учётом закона преломления пsin (-e) = /j'sin (-e') получаем из (2.1)

Определим связь углов:

Угол е' зависит от е. В свою очередь, е зависит от угла, а наклона падающего луча к оси, а также от положения и формы поверхности, т. е. в (2.3) а' = а'(а, г, а). Поэтому положение точки пересечения преломлённого луча с осью, определённое по (2.2), зависит от угла наклона падающего луча:

Видно, что а' = const, и преломлённые лучи пересекаются в одной точке, если только выполняется условие синусов.

Таким образом, в общем случае лучи из осевой точки А после преломления не будут пересекать ось в одной точке. Преобразование пучка с единым центром пересечения лучей (гомоцентрического пучка) в гомоцентрический пучок возможно в следующих случаях. Во-первых, в параксиальной области (см. разд. 2.3) любой такой пучок отображается в гомоцентрический. Во-вторых, широкоугольный гомоцентрический пучок преломляется в гомоцентрический только в том случае, если его центр совпадает с одной из так называемых апланатических точек (см. разд. 2.7). Каждая сферическая поверхность раздела двух оптических сред имеет всего три осевые апланатичсскис точки. И, втрстьих, широкоугольный пучок можно преобразовать (преломить, отразить) в гомоцентрический при любом положении осевых центров пучков только на асферической поверхности, т. е. несферической, профиль которой специально подобран к данному расположению центров (см. разд. 2.8).