Дифференциальные уравнения. 
Общие понятия. 
Задача Коши

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-ого порядка называется соотношение вида:

(1),.

где — независимая переменная; - искомая функция переменной;

— производные искомой функции; - известная функция своих аргументов.

Считается, что производная на самом деле входит в выражение (1), а величины могут и не входить в него.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения, n, называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Пример.

• — уравнение первого порядка;
• — уравнение второго порядка;

— уравнение пятого порядка.

Определение 3. Всякая функция, которая, будучи подставленная вместо y в выражение (1), обращает это выражение в тождество, называется решением дифференциального уравнения (1).

Если — решение, то по определению.

(2).

Пример.

— решение, так как.

У рассматриваемого уравнения есть еще такое решение:

где С — произвольная постоянная.

Это значит, что это уравнение имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра ©.

Можно показать, что уравнение n-ого порядка имеет семейство решений, зависящих от произвольных независимых друг от друга постоянных.

Пример.

Уравнение имеет решение:

.

Определение 4. Процесс разыскания решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Определение 5. Решение дифференциального уравнения (1), содержащее n независимых между собой произвольных постоянных, называется его общим решением.

(3).

Замечание. Дифференциальное уравнение может иметь не одно, а несколько общих решений. Например, для уравнения функции и являются общими решениями, причем разными, так как первая из них обращается в нуль (С=0), а вторая — никогда в нуль не обращается.

Определение 6. Соотношение.

(4).

связывающее между собой независимую переменную, искомую функцию и n произвольных постоянных, называется общим интегралом уравнения (1). Следовательно, в общем интеграле решение задано в неявном виде.

Пример.

Рассмотрим уравнение:. Отсюда или. Поэтому, где С — произвольная постоянная.

— общий интеграл; - общее решение.

Определение 7. Решение, полученное из общего при фиксированных значениях произвольных постоянных, называется частным решением.

Пример. Уравнение. Его общее решение. Положим С=2, тогда — частное решение.

Определение 8. Особым решением по отношению к данному общему решению называется такое решение, которое не может быть получено ни при каких значениях произвольных постоянных, входящих в общее решение.

Пример. Уравнение имеет два общих решения:

1) 2).

Решение: есть частное по отношению к первому и особое по отношению ко второму общему решению.

Определение 9. График частного решения называется интегральной кривой рассматриваемого дифференциального уравнения. Уравнение этой линии есть уравнение (3) и (4) при фиксированных .

Таким образом, общее решение (или общий интеграл) определяет семейство интегральных кривых, каждая из которых соответствует определенному набору значений произвольных постоянных.

Рис. 1.

Пример.. Общее решение .

Теорема существования и единственности решения задачи Коши Пусть дано дифференциальное уравнение, где функция определена в некоторой области плоскости, содержащей точку. Если функция удовлетворяет условиям.

• а) есть непрерывная функция двух переменных и в области ;
• б) имеет частную производную, ограниченную в области, то найдется интервал, на котором существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условию .

Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения, но эти условия не являются необходимыми. Именно, может существовать единственное решение уравнения, удовлетворяющее условию, хотя в точке не выполняются условия а) или б) или оба вместе.

Рассмотрим примеры.

1.. Здесь. В точках оси условия а) и б) не выполняются (функция и её частная производная разрывны на оси и неограниченны при), но через каждую точку оси проходит единственная интегральная кривая (рис. 2).

2.. Правая часть уравнения и ее частная производная непрерывны по и во всех точках плоскости. В силу теоремы существования и единственности областью, в которой данное уравнение имеет единственное решение является вся плоскость .

3.. Правая часть уравнения определена и непрерывна во всех точках плоскости. Частная производная обращается в бесконечность при, т. е. на оси, так что при нарушается условие б) теоремы существования и единственности. Следовательно, в точках оси возможно нарушение единственности. Легко проверить, что функция есть решение данного уравнения. Кроме этого, уравнение имеет очевидное решение. Таким образом, через каждую точку оси проходит по крайней мере две интегральные линии и, следовательно, действительно в точках этой оси нарушается единственность (рис. 3).

Интегральными линиями данного уравнения будут также линии, составленные из кусков кубических парабол и отрезков оси, например, и др., так что через каждую точку оси проходит бесконечное множество интегральных линий.