Скорость и ускорение точек тела при вращательном движении

Формула Эйлера Пусть за время Дt тело повернулось на угол Дц, тогда т. М опишет дугу окружности длиной Дs (рис. 11). Найдем скорость т.М.

Рис. 11.

vM = lim Дs / Дt = lim (R • Дц)/ Дt = R•щ.

Дt Дt.

Ускорение касательное:

a ф = d vM /dt = d (R • щ)/dt = R • dщ/dt = R • е.

Ускорение нормальное:

an = vM /с = щ2R2/R = щ2R.

тогда полное ускорение:

ускорение касательный векторный.

аМ == R.

Угол наклона полного ускорения к радиусу не зависит от R, т. к. tgб = aф / an = е / щ2.

Скорость т. М можно найти и с помощью векторного произведения:, это и есть формула Эйлера. Здесь? радиус вектор точки М (рис. 11). Взяв производную от этой формулы, получим:

=d/dt=d/dtЧ+Чd/dt = Ч+ Ч (Ч).

Можно проверить, что первое слагаемое есть a ф, а второе? an .

Уравнение равнопеременного вращения

Равнопеременным вращением называется такое вращение, при котором угловое ускорение постоянно (е = соnst).

Но е = dщ/dt, разделив переменные и проинтегрировав:, получим закон изменения угловой скорости при равнопеременном движении:

щ — щ0 = еt, или щ = щ0 + еt. (14.1).

Учитывая, что щ = dц/dt, разделяя переменные и интегрируя еще один раз, получим закон равнопеременного вращения:

ц = ц0+ щ0 t+½ еt (14.2).

Из уравнения (14.1) видно, что если е и щ0 имеют одинаковые знаки, то щ по модулю возрастает с течением времени. В этом случае вращение называется равноускоренным. В формуле (14.2) обычно полагают ц0 = 0, т.к. начальный угол поворота ц0 зависит от выбора начала отсчета. Если е = 0, то вращение называется равномерным. ц = ц+ щt? закон равномерного вращения.