Методика изучения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Изложение темы в учебниках начинается с рассмотрения задачи. Например, в учебнике Ю. М. Колягина и др. «Алгебра. 7 класс» (М., 2012) приводится следующая задача: «Ученик задумал два числа и сказал, что сумма этих чисел равна 10, а их разность равна 4. Можно ли по этим данным узнать, какие числа задумал ученик?

Обозначим первое число буквой х, второе буквой у. По условию задачи.

В равенствах (1) и (2) буквами хну обозначены неизвестные числа, или, короче, неизвестные. Эти равенства называют линейными уравнениями с двумя неизвестными. Так как в этих уравнениях неизвестные числа одни и те же, то эти уравнения рассматривают совместно и говорят, что они образуют систему двух уравнений:

Фигурная скобка, стоящая слева, показывает, что нужно найти такую пару чисел (д:; у которая обращает каждое уравнение в верное равенство. Система уравнений (3) — пример системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными".

Затем рассматривается пример решения системы уравнений с двумя неизвестными и сообщается, что «Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел х и у_у которые при подстановке в эту систему обращают каждое её уравнение в верное равенство.

Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или установить, что их нет".

В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными записывают так:

где а₂, Ь₂, с_ис₂- заданные числа, д: и у — неизвестные.

В учебнике Ю. Н. Макарычева и др. «Алгебра 7» (М., 2014) изучение темы начинается с изучения понятия уравнения с двумя переменными (неизвестными). Полезность изучения понятия уравнения с двумя переменными перед введением понятия о системе уравнений заключается в том, что при этом могут быть рассмотрены два важных в дальнейшем вопроса: выражение одного из неизвестных через другое (используется при изучении метода подстановки) и

введение

понятия графика уравнения с двумя неизвестными.

Вначале рассматриваются примеры уравнений с двумя переменными:

Из этих уравнений первые два имеют вид: ах + by = с, где а_уЬ.с- числа.

Такие уравнения называют линейными уравнениями с двумя переменными. Затем дается определение.

Опр. 1. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ах + by = с, где хм у — переменные, а, Ь. с- числа.

После этого учащиеся выясняют, что называется решением уравнения с двумя переменными. Рассматривается пример.

Уравнение х-у = 5 при х = 8, у = 3 обращается в верное равенство 8−3 = 5. Говорят, что пара значений переменных х = 8, у = 3 является решением этого уравнения. Формулируется определение.

Опр. 2. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Новым для учащихся здесь является то, что решением уравнения с двумя переменными, в отличие от уравнения с одной переменной, является пара значений переменных. Кроме того, учащиеся узнают, что уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными; уравнения, не имеющие решений, также считают равносильными.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной.

• 1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
• 2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Учащиеся знакомятся и с графиком линейного уравнения с двумя переменными. Они узнают, что каждая пара чисел, являющаяся решением уравнения с переменными д и у, изображается в координатной плоскости точкой, координатами которой служит эта пара чисел (абсциссой служит значение д, а ординатой — значение у). Все такие точки образуют график уравнения.

Опр. 3. Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

После этого учащиеся выясняют, что представляет собой график уравнения Зд + 2у = 6. Выражают из уравнения у, получают у = - 1,5л: + 3. Формулой у - -1,5* + 3 задастся линейная функция, графиком которой служит прямая. Так как уравнения Зх + 2у = 6 и у = — 1,5д + 3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения Зд + 2у = 6.

С помощью таких же рассуждений можно показать, что графиком любого линейного уравнения с переменными х и у, в котором коэффициент при у Ф О, является прямая. Если в линейном уравнении коэффициент при у = 0, а коэффициент при д Ф 0. то графиком такого уравнения также является прямая.

Например, 2х + Оу = 12. Его решениями служат все пары чисел (д; у), в которых д = 6, а у - любое число. Графиком этого уравнения является прямая, проходящая через точку (6; 0) и параллельная оси OY.

Итак, учащиеся делают вывод, что графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая. Затем рассматривается случай, когда в линейном уравнении оба коэффициента при переменных равны нулю, то есть уравнение ах + Ьу = с имеет вид: O. v + Оу = с. При с = 0 любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком — вся координатная плоскость. При с Ф О уравнение не имеет решений и его график не содержит ни одной точки.

Существенно новым представлением, которое получают учащиеся при изучении этой темы, как уже отмечалось, является представление о том, что решением уравнения с двумя неизвестными служит не число, а упорядоченная пара чисел.

Вторым представлением, резко расширяющим кругозор учащихся, служит то, что множество решении уравнения с двумя неизвестными, как правило, бесконечно и его изображение на координатной плоскости — некоторая линия.

Изучение этой темы может рассматриваться как определенный мостик, связывающий понятие функции и понятие уравнения с двумя неизвестными: с одной стороны, уравнение с двумя неизвестными, в котором одно из них выражено через другое, по виду формулы совпадает с функцией; с другой, — оказывается, что один и тот же геометрический образ является и графиком уравнения, и графиком функции. Эти представления в дальнейшем уточняются учащимися, переосмысливаются.

Замечание. Понятие системы уравнений в школьном курсе математики строго определено быть нс может из-за отсутствия в нём понятия конъюнкции. Однако для развития теории уравнений достаточно, формировать представление о системе уравнений косвенным образом, посредством указания на цель — нахождение общих решений двух данных уравнений. Общее понятие о системе уравнений в этот момент и необязательно вводить. Общее понятие формируется постепенно на основе частного случая — системы линейных уравнений.

Основное содержание темы состоит в изучении двух алгебраических способов решения таких систем (способа подстановки и способа сложения), графического способа решения и исследования систем этого класса.

Алгоритмы решения систем линейных уравнений намного сложнее алгоритма решения линейного уравнения с одним неизвестным. Поэтому при их изучении следует четко указывать последовательность операций, используемых в этих алгоритмах, а также провести изучение каждого действия.

При изучении данной темы используются геометрические представления, которые нс только могут пояснить изложение, но имеют важное самостоятельное значение. Наиболее значимым является их применение для проведения исследования данного класса систем.