Эмпирические и выравнивающие (теоретические) частоты

А. Дискретное распределение. Рассмотрим дискретную случайную величину X, закон распределения которой неизвестен. Пусть произведено п испытаний, в которых величина, А приняла п_л раз значение x_v п₂ раз значение х,п_к раз значение^, причем = п.

Эмпирическими частотами называют фактически наблюдаемые частоты п.

I

Пусть имеются основания предположить, что изучаемая величина X распределена по некоторому определенному закону. Чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты наблюдаемых значений, т. е. находят теоретически частоту п каждого из наблюдаемых значений в предположении, что величина X распределена по предполагаемому закону.

Выравнивающими (теоретическими) в отличие от фактически наблюдаемых эмпирических частот называют частоты п, найденные теоретически (вычислением). Выравнивающие частоты находят с помощью равенства.

где п — число испытаний; Р, — вероятность наблюдаемого значения Xj, вычисленная при допущении, что X имеет предполагаемое распределение.

Итак, выравнивающая частота наблюдаемого значения х_{ дискретного распределения равна произведению числа испытаний на вероятность этого наблюдаемого значения.

Пример. В результате эксперимента, состоящего из п = 520 испытаний, в каждом из которых регистрировалось число х. появлений некоторого события, получено следующее эмпирическое распределение:

набл. значения… х 0 1 2 3 4 5 6 7.

эмп. частота…п. 120 167 130 69 27 5 1 1.

Найти выравнивающие частоты п'в предположении, что случайная величина X (генеральная совокупность) распределена по закону Пуассона.

Решение. Известно, что параметр X, которым определяется распределение Пуассона, равен математическому ожиданию этого распределения. Поскольку в качестве оценки математического ожидания принимают выборочную среднюю (см. гл. 16, § 5), то и в качестве оценки X можно принять выборочную среднюю x_tt. Легко найти по условию, что выборочная средняя равна 1,5, следовательно, можно принять X = 1,5. Таким образом, формула Пуассона.

принимает вид.

Пользуясь этой формулой, найдем вероятности Р_Г}._щ(к) при k = 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7 (для простоты записи индекс 520 далее опущен): Р (0) = 0,22 313, Р ( 1) = 0,33 469, Р (2) = 0,251 021, Р (3) = 0,125 511, Р (4) = 0,47 066, Р (5) = = 0,14 120, Р (6) = 0,3 530, Р (7) = 0,755.

Найдем выравнивающие частоты (результаты умножения округлены до единицы):

Аналогично находят и остальные выравнивающие частоты. В итоге получим:

эмп. частота… 123 167 130 69 27 5 1 1.

выр. частота… 116 174 131 65 25 7 2 0.

Сравнительно небольшое расхождение эмпирических и выравнивающих частот подтверждает предположение, что рассматриваемое распределение подчинено закону Пуассона.

Заметим, что если подсчитать выборочную дисперсию, но данному распределению, то окажется, что она равна выборочной средней, т. е. 1,5- Это служит еще одним подтверждением сделанного предположения, поскольку для распределения Пуассона X = М (Х) = D (X).

Сравнения эмпирических и теоретических частот «на глаз», конечно, недостаточно. Чтобы сделать это более обоснованно, надо использовать, например, критерий Пирсона (см. гл. 19, § 23). Проверка гипотезы о распределении случайной величины по закону Пуассона изложена в книге: Г м у р м, а и В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., «Высшая школа», 1972 (см. гл. XIII, § 17).

Б. Непрерывное распределение. В случае непрерывного распределения вероятности отдельных возможных значений равны нулю (см. гл. 10, § 2, следствие 2). Поэтому весь интервал возможных значений делят на k непересекающихся интервалов и вычисляют вероятности Р. попадания X в i-й частичный интервал, а затем, как и для дискретного распределения, умножают число испытаний на эти вероятности.

Итак, выравнивающие частоты непрерывного распределения находят, но равенству.

где п — число испытаний; Р. — вероятность попадания X в i-й частичный интервал, вычисленная при допущении, что X имеет предполагаемое распределение.

В частности, если имеются основания предположить, что случайная величина X (генеральная совокупность) распределена нормально, то выравнивающие частоты могут быть найдены по формуле.

где п — число испытаний (объем выборки); h — длина частичного интервала; о_и — выборочное среднее квадратическое отклонение; и_х = (х- - х_в)/а_в (х — середина i -го частичного интервала),.

Пример на применение формулы (*) приведен в § 7.

Пояснение. Поясним происхождение формулы (*). Напишем плотность общего нормального распределения:

При а = 0 и, а = 1 получим плотность нормированного распределения или, изменив обозначение аргумента,

Положив и = (ха)/о. имеем.

Сравнивая (**) и (***), заключаем, что.

Если математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение а неизвестны, то в качестве оценок этих параметров принимают соответственно выборочную среднюю х_в и выборочное среднее квадратическое отклонение ст_в (см. гл. 16, § 5,9). Тогда.

где и = (х-х_в)/о_в.

Пусть х. — середина г'-го интервала (на которые разбита совокупность всех наблюдаемых значений нормально распределенной случайной величины X) длиной h. Тогда вероятность попадания X в этот интервал приближенно равна произведению длины интервала на значение плотности распределения f (x) в любой точке интервала и, в частности, при хх. (см. гл. 11, § 5):

Следовательно, выравнивающая частота.

где Uj = (x'jх_в)/о_в. Мы получили формулу (*).