Дифференциальное уравнение Ляпунова и вывод формулы для решения матричного уравнения Ляпунова

Наконец, в завершение темы «устойчивость¹¹, мы дадим обещанное ранее объяснение происхождения формулы для решения матричного уравнения Ляпунова она, конечно, не является плодом откровения свыше, а получается из вполне рациональных соображений.

Для того, чтобы войти в соответствующий круг идей, нам придется рассмотреть чуть более сложный, чем в предыдущей главе, объект линейную систему, но теперь уже с переменными коэффициентами.

и попытаться адаптировать нашу методику построения функции Ляпунова в виде квадратичной формы к этому случаю. Наиболее естественной мыслью здесь будет, конечно, рассматривать в качестве функции Ляпунова квадратичную форму, но с коэффициентами, зависящими от времени. Конечно, тут потребуется еще какая-то равномерная по t оценка этой функции (чтобы применять теорему о функции Ляпунова), но мы в эти тонкости погружаться не будем и попробуем «раскрутить¹¹ главную идею.

Итак, попробуем найти функцию Ляпунова системы (31.5) в виде Продифференцируем функцию V (t, x (t)):

и, подставив вместо х произведение A (t)x, получим.

Получилась опять квадратичная форма, матрицу которой мы обозначим через —H (t). Итак, мы получили задачу определения симметричных и положительно определенных матриц V (t) и H (t), удовлетворяющих соотношению.

получившему название дифференциального уравнения Ляпунова. Нетрудно заметить, что матричное уравнение Ляпунова получается из дифференциального в случае, когда матрицы A, V, H постоянны, так что решение матричного уравнения Ляпунова можно считать просто частным случаем решения дифференциального уравнения Ляпунова.

А вот решение дифференциальною уравнения Ляпунова интереснейшее и увлекательнейшее занятие, к которому мы и перейдем. Конечно, «с налету¹¹ к нему неясно как подступиться, но мы пойдем путем, характерным для многих математических рассмотрений раз сложное уравнение сразу не дается, попробуем решить уравнение попроще. Например, уравнение

Это уравнение мы уже изучали в главе, посвященной матричным уравнениям. Его решение выражается через фундаментальную матрицу Ф (/,) исходной системы (31.5) в виде.

где С некоторая постоянная матрица.

Теперь, после получения такого чудесного результата, мы можем усложнить уравнение, добавив к нему еще одно слагаемое:

Как, зная решение уравнения (31.9), построить решение уравнения (31.11)? Оказывается, здесь, на удивление, весьма успешно срабатывает … метод вариации произвольных постоянных. Хотя вроде бы уравнение «однородное¹⁴, это на самом деле не должно вызывать удивление. Фокус в том, что метод вариации, по большому счету, можно применять при любом переходе от более простых уравнений к более сложным^[1]. Итак, будем искать решение уравнения (31.11) в виде.

подставляя которое в уравнение (31.11). получаем соотношение.

в котором после замены Ф (?) на A (t)Ф (?) второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и после умножения справа на Ф (?) получаем уравнение

которое нами тоже изучалось и общее решение которого имеет вид.

где Ci некоторая постоянная матрица. Подстановка этого решения в (31.12) дает нам общее решение уравнения (31.11):

Что ж, успех окрыляет попробуем «раскусить¹⁴ теперь и исходное уравнение. Воспользуемся опять нашим любимым методом вариации, отыскивая решение уравнения (31.8) в виде.

Подстановка функции (31.14) в (31.8) дает.

Замена производных в первом и третьем слагаемых на — А*(^)[Ф^_1]*(^) и — Ф^-1(?)Л (4) позволяет взаимно уничтожить эти слагаемые с пятым и четвертым слагаемыми соответственно, так что в результате приходим к соотношению.

из которого после умножения справа и слева на матрицы Ф (^) и Ф*^) и интегрирования получаем явную формулу для Ci (it).

и для решения.

Остается последнее заметить, что в случае постоянной матрицы А в качестве Ф (?) можно взять матричную экспоненту Ф (?) = e^At. и тогда формула (31.15) приобретает вид.

«Выудить» из полученного семейства решений постоянное уже совсем несложно, хотя и требует некоторого умения взглянуть на соотношение (31.16) по-другому, увидев в нем произведение трех величин двух растущих (если матрица А имеет собственные значения только с отрицательной вещественной частью) экспонент по краям и «константа плюс интеграл» посередине:

откуда

Если V{t) = const, то правая часть стремится к нулю при t —> оо (справа и слева стоят убывающие до нуля экспоненты), и мы приходим к формуле для С2

подстановка которой в (31.17) дает после приведения разности интегралов к одному формулу.

которая после естественной замены s — t = т превращается в.

что и совпадает в точности с использовавшейся нами формулой для решения матричного уравнения Ляпунова. Заметим, кстати, что справа стоит величина, не зависящая от t: сделанная нами замена очень удачно ликвидировала присутствие этой переменной в интеграле, что означает на самом деле фиктивность этого присутствия так же, как фиктивным является наличие t в интеграле.

который на самом деле равен единице при всех t. и в любом интеграле вида.

который все той же заменой t — s = r приводится к постоянной величине.

Таким образом, происхождение формулы для решения матричного уравнения Ляпунова оказалось отнюдь, но мистическим, а просто получается как частный случай формулы для решения дифференциального уравнения. Отметим, кстати, что такой прием использование дифференциальною уравнения для решения алгебраической задачи нередко используется в математике и считается достаточно мощным: не имея возможности догадаться напрямую до формулы решения алгебраического уравнения, рассматривают дифференциальное (такое, чтобы решения исходного алгебраического уравнения совпадали с теми решениями дифференциального, которые оказываются константами), решают его, а затем выделяют из полученной формулы постоянные решения.

Задания для самостоятельной работы.

• 1. Докажите теорему 31.2 об устойчивости по первому приближению для неавтономной системы.
• 2. Докажите теорему о неустойчивости 31.3.

Каверзные вопросы.

• 1. Докажите теорему 31.4 о функции Четаева.
• 2. Докажите теорему 31.5 Ляпунова о неустойчивости, но первому приближению.
• 3. Попробуйте решить матричное уравнение Риккати

• [1] 1 Переход от линейного однородного уравнения к линейному неоднородному тутжалкий частный случай, хотя, правда, именно в этом жалком частном случае, вотличие от других, менее жалких и более общих, успех и применении метода намгарантирован соответствующей теоремой.