Функции 0k. Введение в теорию функций комплексного переменного

В представлениях эллиптических функций Якоби входят наряду с функцией о ещё три функции <�з_к. Желая выразить эллиптические функции Якоби в виде отношений целых Функций, изображаемых быстро> сходящимися рядами, мы должны наряду с функцией б ввести в рассмотрение ещё три функции б*. Эти целые функции 0_Л будут соответствовать трём целым функциям подобно тому, как рассмотренная в предыдущем пункте функция б отвечала функции о. Как известно,.

и, значит, согласно формуле (68),.

или.

где Ci—новая постоянная.

Выведем теперь разложение в тригонометрический ряд для функции <1 — хг^-. В силу нечётности функции 0(г/) мы имеем.

Заметив, что вычитание из v числа -1. равносильно умножению х =.

«а —мы получим, вследствие (67):

В связи с этим положим:

«осле чего формула (71) примет вид:

Для определения постоянной С положим v = 0. Тогда *=0и ^(0) = ! и, следовательно,

Таким образом, окончательно имеем:

•Остаётся степенной ряд (72) для функции 0_Х (v) преобразовать в тригонометрический ряд, что делается так же, как и для б (р).

Выполнив это преобразование, найдём:

В дальнейшем для сокращения письма мы не будем писать аргумента V = О, гак что

Эти ряды быстро сходятся, так как |^|< 1, и суммы этих рядов суть функции, голоморфные относительно т, определённые в верхней полуплоскости. Заметив, что

где ijj = ij -)-ij*, (c)о — соf- <�о', мы согласно формуле (68), получим:

41ЛИ

то, в силу соотношения Лежандра, примет вид:

Поступая аналогично, мы найдём:

Выведем теперь разложения для функций 0 и Ь^-1 —.

в тригонометрические ряды. В силу нечётности функции 0(v) имеем:

Заметив, что вычитание из v числа равносильно умножению x=e^%lv

_ 1.

на —iq ², мы получим вследствие (67):

«ли, заменяя переменную суммирования п на n-j-l: и точно так же.

Сопоставляя последние две формулы с выражениями (77) и (78), введём новые функции ®i (v) и 0₃(tO:

и перепишем формулы для а₂(г) и o₈(z) в виде:

где С, и С₃-некоторые новые постоянные. Для их определения положим г = 0, а значит, и с/ = 0; тогда найдём х. е.

Таким образом, окончательно имеем:

Степенные ряды (81) и (82) для функций O_s(tr) и 0₃ (v) могут быть легко преобразованы в тригонометрические ряды, как мы это уже делали для функций 0(?) и 0! (v).

В результате мы получим:

В частности, при v = 0 будем иметь:

Эти ряды очень быстро сходятся, так как по условию |?|<1, и суммы этих рядов будут функции, голоморфные относительно г, определённые в верхней полуплоскости.