Приложения к гидродинамике

Невихревой и свободный от источников поток жидкости.

Будем отправляться от рассмотрения векторного поля в области G плоскости" ху. г. с. системы двух непрерывных функций р (х_уу) чу (х, у), определённых в области G, которые мы примем за компоненты вектора V:

Это векторное поле можно интерпретировать гидродинамически, принимая его за распределение скорости установившегося плоского погока несжимаемой жидкости.

Считая область G односвязной, мы предположим поток свободным от источников, т. е. что пи в какой части области G жидкость не возникает и не исчезает; это значит, что в каждой частичной области, принадлежащей G, с течением времени происходит изменение состояния жидкости исключительно посредством притока или утечки жидкости через границу этой частичной области. Это предположение приводит к условию, которому должен удовлетворять вектор скорости W.

Рассмотрим произвольную замкнутую кусочно-гладкую кривую Г в области G и обозначим W_n нормальную к Г компоненту вектора IV, считая положительное направление нормали идущим от Г внутрь области. Тогда выражение ^ Wps будет пропорционально увеличению количества жидкости,.

происходящему за единицу времени в области, ограниченной кривой Г. Вследствие предположения «об отсутствии источников эго выражение должно быть равно нулю, какова бы ни была линия Г, принадлежащая G. Заметив, что.

«.

мы получаем условие:

На основании известной теоремы анализа мы отсюда заключаем: свобод— кый от источников поток жидкости характеризуется равенством:

Равенство (33) должно иметь место в каждой точке односвязной области G, в которой нет источников у рассматриваемого потока жидкости.

Обозначим через W_s компоненту вектора скорости W в направлении касательной к кривой Г, считая за положительное направление кривой го направление, при котором область, внутренняя к Г, остаётся слева.

Выражение IV_sds называют циркуляцией потока вдоль кривой Г. По- f

ток жидкости называется невихревым в G, если его циркуляция вдоль произвольной замкнутой кривой Г, принадлежащей G, есть нуль. Заметив, что.

условие невихревого потока запишем так:

Мы, таким образом, получаем: невихревой поток жидкости характеризуется равенством:

Равенство (34) должно выполняться повсюду в области G при отсутствии в этой области вихрей у потока жидкости.

Рассмотрим ближе условие (34) невихревого потока жидкости. Это условие показывает, что р и q суть частные производные некоторой функции, которая может быть найдена квадратурами. Итак, имеем:

Функция и носит название потенциала скоростей данного потока. Зная эту функцию, мы определяем компоненты скорости потока согласно формулам (35). Очевидно, величина скорости равна.

Если невихревой поток свободен от источников, то, внося выражения (35) в уравнение (33), найдём:

Таким образом, каждый невихревой и свободный от источников поток жидкости обладает потенциалом скоростей u{x, y)_t удовлетворяющим дифференциальному уравнению (36).

Кривые и = const, называются линиями уровня. Вдоль этих кривых не имеется движения жидкости, так как жидкость течёт всюду к ним перпендикулярно. Действительно, обозначая через W_s компоненту скорости W в произвольном направлении s, очевидно, имеем:

Следовательно, в силу (35) получаем:

откуда, в частности, вытекает: вдоль линии и = const, компонента скорости равна нулю.