Магнитное пространство и скорость света

Уравнения гравитационного поля Эйнштейна имеют вид [4, 22−25]:

(1).

— тензор Риччи, метрический тензор и тензор энергии-импульса; - космологическая постоянная Эйнштейна, гравитационная постоянная и скорость света соответственно.

В общем случае имеют место соотношения.

(2).

— тензор Римана, — символы Кристоффеля второго рода.

Уравнения движения материальной точки в гравитационном поле можно представить в форме [4, 22−25].

(3).

Для дальнейшего нам понадобятся два типа метрики, описывающие постньютоновское приближение и расширение Вселенной соответственно, имеем [21, 24].

(4).

(5).

Здесь.

— гравитационный потенциал и масштабный фактор соответственно. Отметим, что метрика (5), получившая название FLRW, широко используется в космологии.

Ниже всюду, где это не оговаривается, положим, рассмотрим обобщение метрик (4)-(5) в форме.

(6).

(7).

Здесь.

— некоторые функции, которые определим из уравнений (1). В метрике (6) тензор Эйнштейна приводится к виду.

(8).

В случае гравитации, в соответствии с общей идеей перехода от теории Эйнштейна к теории Ньютона-Пуассона, мы должны положить в первом приближении [24].

(9).

Здесь обозначено — плотность материи. Остальные компоненты тензора Эйнштейна (8) в этом приближении следует положить равными нулю. Однако и в любом приближении можно без ограничения общности считать, что единственный потенциал метрики (6) определяется из уравнения типа (9), которое, с учетом первого выражения (8) представим в виде.

(10).

Остальные компоненты тензора Эйнштейна позволяют определить компоненты тензора энергии тензора энергии-импульса, которые не могут быть заданы произвольно в метрике (6). Так, например, если тензор энергии-импульса описывает течение жидкости, то уравнения Эйнштейна (1) позволяют определить поле скорости течения, без использования гидродинамических уравнений [21]. Основные свойства уравнения (10) были изучены в работах [18−21]. Отметим, что уравнение (10) имеет параболический тип. Действительно, приведем уравнение (10) к квазилинейному виду. Для этого запишем его в форме.

(11).

Продифференцируем все части уравнения (11) по времени, тогда получим.

(12).

Здесь обозначено.

.

Уравнение (12) является квазилинейным параболическим уравнением с переменным направлением времени [19−21].

Отметим, что хотя в математической литературе уравнение типа (12) называют параболическим уравнением с переменным направлением времени, в общей теории относительности такая терминология не только неприемлема, но и противоречит физическому смыслу уравнения (12), которое меняет тип при изменении знака функции, тогда как знак времени остается постоянным.

Поскольку уравнение (10) имеет параболический тип, то скорость гравитации не ограничена скоростью света и теоретически может быть сколь угодно большой. Таким образом, уравнение (10) позволяет объяснить движение со сверхсветовой скоростью [21] в общей теории относительности. Этот неожиданный результат, казалось бы, находится в противоречии с основными положениями теории относительности [4, 22−25], одним из которых является ограничение скорости перемещения материального тела скоростью света. Подробное обсуждение этого вопроса содержится в работах [26−29] и других.

Как известно, фундаментальное ограничение на скорость перемещения материальных тел возникает в электродинамике в связи с преобразованиями Лоренца [4, 22−25]. Но в случае уравнений Эйнштейна (1) преобразования координат могут быть любыми [4, 22−25], поэтому преобразования Лоренца ничем не выделены и не могут приводить к каким-либо ограничениям на скорость перемещения тел [30].

Рассмотрим метрику (7), в которой тензор Эйнштейна имеет вид.

(13).

Сравнивая выражения (8) и (13), находим, что в случае расширения Вселенной возмущения метрики могут определяться как параболическим уравнением типа (10), так и волновым уравнением, описывающим цилиндрические гравитационные волны, которые распространяются со скоростью света [22−25, 31].

Поставим принципиальный вопрос: если в природе наблюдается ограничение на скорость движения и скорость света является пределом, то чем это может быть обусловлено в метриках типа (6) и (7)? Очевидно, что ответ должен быть универсальным, отражающим некий фундаментальный закон природы. В качестве первой гипотезы рассмотрим вопрос о структуре тензора энергии-импульса материи, в результате влияния которой могли бы реализоваться метрики (6) и (7). Будем считать, что в качестве таковой материи выступает электромагнитное поле. Тогда на тензор энергии импульса следует наложить ограничение [22−25].

(14).

Учитывая определение тензора Эйнштейна, отсюда находим, что скалярная кривизна в пространствах такого типа равна нулю.

(15).

Для метрики (6) отсюда находим уравнение.

(16).

Отметим, что уравнение (16) является квазилинейным уравнением гиперболического типа. В случае возмущений метрики малой амплитуды имеем.

(17).

Поскольку мы приняли, что, необходимо изменить единицу измерения времени и (или) пространства в метрике (6) так, чтобы линейные волны описывались бы волновым уравнением.

(18).

Этот выбор масштаба измерения достигается путем специального соглашения, например, в системе СИ метр равен расстоянию, которое проходит свет в вакууме за промежуток времени равный 1/299 792 458 секунды. При этом скорость света точно равна 299 792 458 м/сек.

В случае метрики (7) имеем аналогичное (16) уравнение.

(19).

Уравнение (18) является квазилинейным уравнением гиперболического типа. В случае малых возмущений метрики находим из (18).

(20).

Вновь применяя соглашение о масштабах, приходим к волновому уравнению.

(21).

Таким образом, теория электромагнитных явлений представляет собой, в том числе, соглашение о масштабах измерения пространства и времени, фиксируя которые можно достичь соглашения о постоянстве скорости света. Согласно теории относительности такой выбор можно осуществит в любой системе координат. Эта идея впервые была высказана Вейлем [32], однако Эйнштейн не поддержал теорию Вейля, рассматривая ее, скорее, как математическую теорию, нежели как теорию, имеющую отношения к физике. Эйнштейн считал более перспективной теорию Калуцы [33], в которой объединение гравитации и электромагнетизма достигается в 5-мерном пространстве.

Отметим, что современная теория калибровочных полей берет свое начало в теории Вейля, тогда как теория супергравитации тесно связана с теорией Калуцы. Объединение этих двух теорий в одной модели дает ключ к построению теории всего. Предполагается, что объединения всех четырех фундаментальных взаимодействий — гравитационных, электромагнитных, слабых и сильных, можно достичь, например, в 10-мерном пространстве [34].

Электромагнитные явления в общем случае зависят от двух потенциалов, один их которых связан с метрикой (6), описывающей переход к теории Ньютона в форме уравнения (9), а второй связан с метрикой (7), описывающей расширение Вселенной. Указанные потенциалы могут быть связаны как с потенциалами электромагнитного поля, так и с потенциалами макроскопического поля Янга-Миллса [35−36]. В первом случае необходимо установить связь метрических потенциалов с вихревыми электромагнитными полями, фигурирующими в уравнениях (0.1)-(0.2). В случае же полей Янга-Миллса соответствующая теория, связывающая метрику с тензором энергии-импульса, была построена в работах [37−38].