Характеристика и вычисление функции Гаусса

Характеристика и вычисление функции Гаусса

Функция Гаусса — это плотность распределения вероятности случайной величины, являющейся математической функцией, а также применяемая в математической статистике, статистической физике и эконометрике, которая основана на теории вероятностей. Также эта функция называется «нормальное распределение» или «распределение Гаусса».

Выражается следующей формулой:

.

Где параметры м и у — являются вещественными числами: м — математическое ожидание, медиана и мода распределения. у — стандартное отклонение распределения (уІ - дисперсия).

Функция нормального распределения — одномерное распределение являющееся двухпараметрической группы распределений.

Стандартное нормальное распределение имеет такие свойства:

• 1) Математическое ожидание — м = 0
• 2) Стандартное отклонение — у = 1

Формула функции Гаусса названа в честь ее изобретателя — Карла Фридриха Гаусса.

Иоганн Карл Фридрих Гаусс (1777−1855) — немецкий физик, математик, астроном и механик. И. Гаусс признан одним из лучших математиков в истории. С ним связаны фундаментальные изучения во всех разделах точных наук, таких как алгебра, математический анализ. Теория чисел, механика (дифференциальная, неевклидовая), теория функций комплексной переменной теории вероятности. Механика (аналитическая, небесная), физика, геодезия и астрономия. Его называли «королем математиков».

Носитель:

.

Вероятность принятия значения () для нормально распределенной случайной величины:

.

или:

.

Где: математическое ожидание —; стандартное отклонение —; случайная величина — .

Для того чтобы найти нормальное распределение, необходима таблица значений функции Лапласа, обозначающая вероятность того, что данное значение случайной величины принадлежит заданному интервалу.

Интегральная формула Муавра-Лапласа:

Pn (m1 < m < m2) = Ф0(x2) — Ф0(x1).

Примеры:

Пример № 1. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой величины равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 30).

Решение:

;

;

;

.

+Ф (2)=0,4773+0,4773=0,9546.

Ответ: Х=0,9546.

Пример № 2. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой величины равны 15 и 5. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 25).

Решение:

.

;

;

;

.

+Ф (1)=0,4773+0,3413=0,8186.

Ответ: Х=0,8186.

Пример № 3. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой величины равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (20, 40).

Решение:

.

;

;

;

.

+Ф (1)=0,3413+0,3413=0,6826.

гаусс лапласс математический интегральный Ответ: Х=0,6826.