Основные логические законы и их использование при построении суждений

В математической логике законами называют важнейшие равносильные формулы.

Перечислим основные логические законы.

1. Закон двойного отрицания: —"(—^4) А.

Этот закон говорит о том, что если дважды применить отрицание к некоторому высказыванию, то мы придем к исходному высказыванию.

Например, если высказывание А — «планета Земля вращается», то высказывание —А — «неверно, что планета Земля вращается», т. е. «планета Земля не вращается», а значит, -i (-iA) — «неверно, что планета Земля не вращается», т. е. «планета Земля вращается». А это и есть исходное высказывание А.

Упражнение 4.2.

В философии есть закон отрицания отрицания. Выясните, имеет ли что-то общее этот философский закон с логическим законом двойного отрицания. Чем они отличаются?

2. Закон исключенного третьего. A v-iA «1.

Согласно закону исключенного третьего из двух противоречащих друг другу высказываний только одно является истинным. Третья возможность исключается. Действительно, дизъюнкция двух высказываний тождественно истинна (является тавтологией) тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно. Но в данном случае не может быть случая, когда оба высказывания истинны, так как если одно из высказываний истинно, то его отрицание будет ложным, и наоборот.

Например, согласно закону исключенного третьего утверждение о том, что две прямые на плоскости параллельны или не параллельны, — истинно. Если нам удалось доказать, что они не параллельны, то это означает, что они параллельны (вспомните определение дизъюнкции).

Закон исключенного третьего используется в доказательстве «от противного». Этот способ доказательства состоит в том, что мы предполагаем, что верно утверждение, которое является отрицанием доказываемого факта. В ходе рассуждений приходят к выводу, что оно является ложным (при данных условиях). На основании закона исключенного третьего делается вывод, что истинным является доказываемый факт.

3. Закон непротиворечив. А д —А 0.

Закон говорит о том, что два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными. Например, два высказывания «я прекрасно играю на рояле» и «я не умею играть на рояле» противоречат друг другу и не могут быть истинными одновременно. Другими словами, их конъюнкция есть противоречие. Но нужно заметить, что если эти высказывания относятся к разному времени, то они могут быть истинными.

4. Закон тождества: А —> А 1.

Этот закон говорит о том, что при рассуждениях высказывание не должно меняться, т. е. подменяться другим. Другими словами, всякое высказывание влечет (имплицирует) само себя. Например, «если розы свежие, то они свежие» — высказывание, в котором использован закон тождества.

Этот закон очень важен для корректного ведения дискуссии или спора. Поэтому разберемся, к каким ошибкам может привести его нарушение. Все такие ошибки можно разделить на две группы. К первой надо отнести ошибки, когда закон тождества нарушается непроизвольно, по незнанию (их называют паралогизмами). Ко второй группе относят ошибки преднамеренного нарушения закона тождества, чтобы запутать собеседника (они н аз ы ваются соф из мам и).

Мастерами умышленно неправильных рассуждений, рассчитанных на то, чтобы ввести в заблуждение своего собеседника, были, например, древнегреческие софисты (отсюда и слово «софизм»). Как правило, софисты употребляли в своих рассуждениях такие понятия, которые имели разный смысл. Приведем пример софизма «рогатый»:

То, чего ты не потерял, ты имеешь.

Ты не потерял рогов.

Следовательно, ты имеешь рога.

Уловка софистов состояла в том, что слово «потерял» толкуется двусмысленно. В первой строчке слова «не потерял» относятся к тем предметам, которые у нас есть, а во второй — к тем предметам, которых у нас никогда не было. Ясно, что вывод не может быть правильным.

Среди других логических ошибок можно отметить амфиболию, эквивокацию, логомахию.

Амфиболия (от греч. d|H (|)i (3oMa — двусмысленность, неясность) — логическая ошибка, в основе которой лежит двусмысленность языковых выражений. Другое название этой ошибки — «подмена тезиса». Например, «фашисты любили музыку Вагнера, значит, любить Вагнера — это фашизм».

Эквивокация (от лат. aequivocatio — равноголосие, двусмысленность) — логическая ошибка при рассуждении, в основе которой лежит использование одного и того же слова в разных значениях. Например, смысл простого, на первый взгляд, высказывания «ученики прослушали объяснение учителя» непонятен. Ведь слово «прослушали» можно понимать двояко: то ли ученики внимательно слушали учителя, то ли все пропустили мимо ушей. Другое название этой ошибки — «подмена понятия». В филологии эквивокацию называют омонимией (homonymia, от лат. homonymus — «одноименный»).

Эквивокацию часто используют умышленно авторы сатирических или юмористических произведений. Писатель начала XX в. В. И. Дорошевич, в свое время прозванный королем русского фельетона, удачно использовал эквивокацию в сатирическом рассказе «Дело о людоедстве»:

Пьяный купец Семипудов дебоширил на базаре. При аресте, чтобы придать себе вес, он похвалился, что прошлым вечером «ел пирог с околоточным надзирателем».

Но у полицмейстера Отлетаева, как на грех, оказался рапорт об исчезновении околоточного надзирателя Силуянова. Возникло подозрение, что он съеден в пирогах. Завертелось дело, последовали допросы с пристрастием, массовые аресты. В конце концов забулдыга надзиратель отыскался, но несчастный купец, обвиненный в людоедстве, уже был осужден на каторгу «по законам военного времени».

Логомахией называется логическая ошибка, когда спорящие, не определив вначале с точностью предмета спора, опровергают друг друга или не соглашаются друг с другом единственно потому, что употребляют неточные слова для выражения своих мыслей. Например, можно бесконечно спорить по вопросу «есть ли у крокодила мышление?», если изначально не определить, что такое мышление и по каким признакам можно усмотреть его наличие (или отсутствие).

Кстати, закон тождества лежит в основе таких важных следственных действий, как опознание и идентификация. Суть первого действия сводится к тому, что опознающему (потерпевшему, свидетелю и др.) предъявляют в определенном законом порядке человека или какой-нибудь предмет, чтобы установить их тождество (или различие) с тем, что наблюдалось ранее и о чем уже даны показания. Результаты опознания имеют важное доказательственное значение. Задача идентификации состоит в установлении тождества тех или иных вещей, людей, документов и т. д., которые до этого мыслились как различные. Например, идентификация подозреваемого в разных преступлениях, идентификация ножа, которым был ранен человек, и ножа, найденного у подозреваемого.

5. Закон контрапозиции. А —> В -iВ —> —А.

Закон говорит о том, что если из одного высказывания следует другое, то из отрицания второго высказывания следует отрицание первого.

Например, в соответствии с ним высказывание «если Вася разбил окно, то он играл в футбол» равносильно высказыванию «если Вася не играл в футбол, то он не разбивал окна».

6. Закон транзитивности импликации. (А —> В) д (В —> С) А —> С.

Этот закон говорит о том, что если из одного высказывания следует второе, а из второго — третье, то это равносильно тому, что из первого высказывания следует третье.

Например, высказывание «если завтра не будет дождя, то мы поедем на дачу, и если мы поедем на дачу, то там полакомимся запеченной рыбой» равносильно высказыванию «если завтра не будет дождя, то мы полакомимся запеченной рыбой». Или высказывание «если треугольник — равносторонний, то у него есть два равных угла, и если у треугольника есть два равных угла, то он равнобедренный» равносильно высказыванию «если треугольник равносторонний, то он равнобедренный».

Часто бывает необходимо заменить в высказывании логическую связку. Это можно сделать, используя один из следующих законов.

7. Законы взаимовыразимости связок.

А, а В —i (—A v^B);

A wB —1(—А д —I By,

Л —> В —A vB;

А В (А В) л (В А).

В справедливости последнего закона мы убедились при рассмотрении примера 4.3 выше, доказывая равносильность формул, стоящих в левой и правой частях.

Кроме рассмотренных основных логических законов есть еще законы, которые будут приведены в следующем параграфе.