Работа и механическая энергия

Краткие теоретические сведения

Если направление действия силы проходит через центр инерции (центр масс) твердого тела, то элементарной механической работой такой силы называют скалярное произведение силы на элементарное перемещение центра инерции (центра масс) тела :

где — угол между и ;

элементарный путь.

Для определения механической работы силы по перемещению тела на участке траектории вычисляют интеграл:

.

Если направление действия силы не проходит через центр инерции (центр масс) твердого тела, то это приводит к вращательному движению тела под действием момента этой силы. Тогда элементарной механической работой момента такой силы называют скалярное произведение момента силы на элементарное угловое перемещение :

Авр .

Для определения полной механической работы вычисляют интеграл:

Авр .

Когда тело совершает механическое движение, оно обязательно имеет кинетическую энергию Wк.

Кинетическая энергия — это энергия движущегося тела. В случае поступательного движения тела кинетическая энергия зависит от массы тела m и ско-рости его движения :

Wк =

При вращательном движении тела вокруг неподвижной оси его кинетическая энергия определяется моментом инерции тела относительно этой оси I и угловой скоростью вращения тела :

Wк =

При плоском движении твердого тела (катящийся шар, обруч, диск и т. д.) кинетическая энергия вычисляется по формуле:

Wк = +.

где скорость центра инерции (центра масс) тела;

угловая скорость вращения тела.

Если над телом совершают работу несколько сил, то алгебраическая сумма работ этих сил равна изменению кинетической энергии тела:

А1 + А2 + … = Wк = Wк2 Wк1.

Кроме того, любое тело может иметь потенциальную энергию Wр (энергию, зависящую от положения тела).

Потенциальная энергия тела — это энергия взаимодействия тела с другими телами или частей одного тела между собой за счет консервативных сил. Консервативными называют силы, работа которых не зависит от формы перемещения тела, а определяется лишь его начальным и конечным положениями. К таким силам, например, относятся силы тяжести и упругости.

При действии на тело силы тяжести (h << RЗ) потенциальная энергия вычисляется по формуле:

Wп = mgh,.

где h — высота, на которую поднято тело массой m от условного нулевого уровня (поэтому Wп может быть больше, меньше нуля или равной нулю).

Для упругодеформированного тела Wр вычисляют по формуле:

Wп = ,.

где х1 и x2 — значения конечной и начальной деформации тела (сжатия или растяжения), для недеформированного тела Wр равна нулю.

Так как работа консервативной силы Ак зависит лишь от начального и конечного положений тела в поле этих сил, то работа таких сил может быть вычислена через убыль потенциальной энергии тела:

Ак = Wп = Wп1 Wп2.

Сумма кинетической и потенциальной энергий тела представляет собой его полную механическую энергию:

W = Wк + Wп.