Неустановившееся фильтрация газа в пористой среде

Уравнение Лейбензона

Лейбензон Л.С. получил дифференциальное уравнение для определения давления в пласте при неустановившемся движении в нем идеального газа.

Для получения требуемого уравнения используем изотермическое приближение и, следовательно, используем уравнение состояния в виде.

. (5.38).

Потенциальная функция, как уже отмечалось ранее, имеет вид.

. (5.39).

Обозначив р2=Р и проделав преобразования общего уравнения нестационарной фильтрации, получим уравнение Лейбензона:

. (5.40).

По внешнему виду уравнение (5.40) не отличается от уравнения пьезопроводности (5.11), но множитель перед лапласианом переменен. В связи с этим уравнение (5.40) нелинейно в отличие от линейного уравнения пьезопроводности упругой жидкости и аналитически решается приближенно.

Для получения приближенного решения используется метод линеаризации, а именно, переменное давление р в b заменяется на некоторое постоянное: Лейбензон предложил замену на рк (начальное давление в пласте); Чарный — на рср=рmin+0,7(pmax-pmin), где pmax и pmin — максимальное и минимальное давление в пласте за расчетный период.

При указанных допущениях решение будет иметь такой же вид, что и в случае упругой жидкости, но при этом в данных решениях давлению р будет соответствовать.

Р=р2, — /=, .

Таким образом, изменение давления при нестационарной фильтрации газа описывается соотношением.

. (5.41).

При малых значениях r2/(4/t) можно заменить интегрально-показательную функцию логарифмической.

. (5.42).

Рис. 5.9. Пьезометрические кривые при неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) и изменение давления с течением времени в фиксированных точках пласта (b)

Формулы (5.41),(5.42) определяют при фиксированных значениях времени распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t=0. Депрессионные кривые идентичны кривым при установившейся фильтрации — имеют максимальную кривизну вблизи скважины (рис. 5.9а). Если задать значение r, то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени (рис. 5.9b). В частности, можно найти давление на забое (при r = rc) после начала работы скважины.

Уравнение (5.42) используется для расчета коллекторских параметров газовых пластов методом обработки кривой восстановления давления. Принцип расчета такой же, что и в случае нефтяных скважин, но для получения линейной зависимости по оси ординат надо откладывать не депрессию, а разность квадратов пластового и забойного давлений.