Традиции и логика требований к решению

Если решение описывается некоторыми характеристиками, то для выбора варианта требования к решению можно представить следующим образом.

• 1. В виде неравенства для количественных значений характеристик.
• 2. В виде интервала значений количественных значений.
• 3. В виде словесных значений качественных характеристик.
• 4. В виде перечня словесных значений.

Рассмотрим первые два способа задания требований.

Пусть ЛПР формулирует требование к кандидату на должность как «не старше 40 лет». Чтобы пояснить особенность такого требования, воспользуемся логической функцией требований (ЛФТ), которая будет принимать только два значения: 0 и 1. Положим, что нулевое значение данной функции, отражающей логику данного требования, соответствует неприемлемому значению, а единичное значение функции соответствует приемлемому значению.

Тогда для наглядности можно представить это требование в виде следующего графика (рис. 7.4):

Рис. 7.4. Традиционная функция требований

Данная функция требований показывает, что все кандидаты, возраст которых больше хотя бы на 1 день, формально не подходят на должность. На графике подходящие по возрасту кандидаты располагаются на горизонтальной оси в области, соответствующей прямоугольной части значений логической функции требований. Требования к характеристикам решения, которым соответствует функция, принимающая только значения 0 или 1, будем называть традиционными требованиями, а функцию требований — традиционной.

Иначе говоря, требование в виде неравенства является слишком жестким. На практике, конечно, приходится пользоваться более гибкими и мягкими требованиями. Более мягкое требование, чем требование в виде неравенства, можно задать, если мы положим, что логическая функция будет принимать не только значения 0 или 1, а любые значения в интервале от 0 до 1.

В этом случае ЛПР может придать следующий смысл значениям логической функции требований. Величина 0,5 будет соответствовать номинальному значению характеристики. Для рассматриваемого примера это соответствует 40 годам. Значения между 0 и 0,5 соответствуют менее приемлемым вариантам решения, а значения между 0,5 и 1 — более приемлемым вариантам. При этом чем больше величина логической функции, тем более приемлемым является вариант решения. Это значит, что 0-значениям логической функции соответствуют неприемлемые варианты, а 1-значениям — полностью приемлемые варианты. Для рассматриваемого примера логическая функция, принимающая значения в интервале от 0 до 1, на графике будет иметь следующий вид (рис. 7.5).

Рис. 7.5. Логическая функция требований по возрасту кандидата

Данная логическая функция требований к возрасту кандидата на должность задана в интервале от 35 до 45 лет, имеет линейный вид и означает, что по возрасту полностью приемлемыми кандидатами являются лица моложе 35 лет, а полностью неприемлемыми являются лица старше 45. Данная функция требований смягчает требования в интервале от 35 до 45 лет и своими значениями позволяет оценивать степень предпочтения кандидата на должность. Такая логическая функция также означает, что различия в предпочтении ЛПР проявляются в только интервале от 35 до 45 лет. В более общем случае логическая функция может иметь нелинейный вид и быть задана во всем диапазоне изменения характеристики решения.

Таким образом, формулировка требований с помощью логической функции, заданной в интервале от 0 до 1, будет соответствовать более реалистическому процессу принятия решения. В общем случае, логическая функция может быть левосторонней, правосторонней и двусторонней, а также линейной и нелинейной.

Двусторонние логические функции позволяют гибко оценивать варианты в двустороннем диапазоне значений характеристики. Например, тогда, когда ЛПР предпочитает не молодого и не старого сотрудника, а человека около 35 лет. Задание требований к возрасту претендента с помощью такой логической функции означает, что самым подходящим является возраст 35 лет, соответствующий значению логической функции, равному 1. Лица, имеющие возраст в диапазонах 25— 35 и 35—40, оцениваются величиной предпочтения соответственно от 0,5 до 1 и от 1 до 0,5. Претендент, имеющий возраст 25 лет, оценивается величиной предпочтения, равной только 0,5. Такую же степень предпочтения имеет и претендент возрастом 40 лет, а лица моложе 25 и старше 40 имеют величины предпочтения менее чем 0,5.

Рассмотренные в предыдущем пункте понятия нечеткой и лингвистической переменной позволяют при необходимости также формализовать такие слова как «очень», «не очень» и «лучше» и «хуже». Эти слова связаны с качественными характеристиками решения и в некоторых случаях позволяют упростить и уточнить процедуру принятия решения.

Пусть, например, требуется определить различие между внешностью трех претенденток на конкурсе красоты: А, Б, В. Предположим, что мы оцениваем кандидатуры на участие в конкурсе только по двум характеристикам: привлекательность и улыбчивость. Посмотрите внимательно на фотографии и попробуйте оценить, кто из них и привлекательнее, и улыбчивее? Проще и естественнее это сделать сначала с помощью слов, а не цифр. Положим, далее, что ЛПР дал словесные оценки значений характеристик кандидатур следующим образом (табл. 7.2):

Таблица 7.2

Если вы считаете по-другому, то, пожалуйста, составьте свою таблицу с оценками, а мы рассмотрим, как можно обосновать выбор кандидатуры по этим данным. Для этого будем использовать понятия «лингвистическая» и «нечеткая» переменная. Лингвистическими переменными в данном случае являются характеристики с их словесными оценками значений, а словесные значения характеристик будут нечеткими переменными. Запишем характеристики с их значениями следующим образом:

Привлекательность (выше средней, высокая, очень высокая).

Улыбчивость (низкая, ниже средней, средняя).

Справа от наименования характеристики в скобках записаны используемые ЛПР словесные оценки значений характеристик в порядке их возрастания. В последнем столбце таблицы запишем самые лучшие оценки и их сочетание назовем эталоном. Эталоном будем называть несуществующий вариант решения, составленный из наилучших значений характеристик. Иногда эталонный вариант называют идеалом. Для выбора лучшей кандидатуры будем сравнивать, насколько значения рассматриваемой кандидатуры отличаются от эталонных значений, то есть, в чем разница между «очень высокая» и «высокая», «очень высокая» и «выше средней» для характеристики «привлекательность»; «средняя» и «низкая», «средняя» и «ниже средней» для характеристики «улыбчивость». Для этого согласно определению нечеткой переменной построим соответствующие словесным оценкам характеристик функции принадлежности. По горизонтальной оси будем располагать баллы по 10-бальной шкале, а по вертикальной оси — значения функции принадлежности словесных оценок, которая меняется от 0 до 1.

Сравнение нечетких переменных осуществляется путем сложения разниц значений их функций принадлежности и эталонного значения в фиксированных точках на оси характеристики.

Выберем такие точки при 0; 2,5; 5,0; 7,5 и 10 баллах. Причем разницы значений подсчитываются по абсолютной величине. Например, в точке нулевого значения характеристики значение функции принадлежности «высокая» и «очень высокая» равны 0. Значит, разница их тоже 0, и так далее. В точке 7,5 значение функции принадлежности «очень высокая» равно 0, а значение «высокая» равно 0,5. Значит, их разница равна 0,5. В точке 10 их значения одинаковы и равны 1, то есть разница их будет равна 0. Тогда получим следующие величины:

Привлекательность

очень высокая — высокая = 0 + 0 + 0 +(0 — 0,5)+ 0 = 0,5; очень высокая — выше средней = 0 + 0 + (0 — 0,7) + (0 — 1) + 0 =1,7; очень высокая — очень высокая = 0.

Функции принадлежности нечетких переменных:

Улыбчивость, баллы

средняя — ниже средней = (0 — 0,4) + (0,8 — 1) + (1 — 0,6) +.

+ (0,8 — 0) + 0 = 1,8;

средняя — низкая = (0 — 1) + (0,8 — 0,5) + (1 — 0) +.

+ (0,8 — 0) + 0 = 3,1;

средняя — средняя = 0.

Различия между словесными значениями эталона и значениями для кандидатур А, Б и В имеют смысл потерь по отношению к эталонному варианту решения. Поэтому, сложив их для каждого варианта решения А, Б и В, получим величины суммарных значений по обеим характеристикам потерь. Тот вариант, который имеет меньшую сумму потерь, и можно рекомендовать как лучший. Подсчитаем эти суммы потерь.

Кандидатура, А имеет небольшие потери по привлекательности и нулевые потери по улыбчивости, то есть это самая улыбчивая из трех девушек. Кандидатура Б — самая привлекательная, так как имеет нулевые потери по привлекательности, но, оказывается, — самая неулыбчивая, так как потери по этой характеристике равны 3,1. У кандидатуры В улыбчивость не самая маленькая, но по первой характеристике она проигрывает двум другим кандидатурам. Как видим по этим результатам, наименьшие суммарные потери имеет кандидатура А, на втором месте кандидатура Б и на третьем месте кандидатура В. Конечно, результаты не должны противоречить здравому смыслу и в данном случае они зависят от графиков функций принадлежностей, которые использовались в примере. Как же строятся эти функции принадлежностей?

Функции принадлежности, определяющие степень нечеткости, размытости множества значений можно построить следующими способами:

1. Способ одного эксперта.

В этом случае экспертом обычно является ЛПР, который выбирает подходящую количественную шкалу для оценки нечеткой переменной и на основе своего представления о характере нечеткой переменной, опыта и интуиции задает значения функции принадлежности от 0 до 1 на количественной шкале характеристики. Смысл функции принадлежности — в том, чтобы указать степень принадлежности к рассматриваемому качественному понятию. Чем ближе значение функции принадлежности к 1, тем в большей степени соответствующее значение количественной шкалы лингвистической характеристики принадлежит к конкретному понятию. Обычно трудно сразу представить функцию принадлежности во всем диапазоне изменения количественной шкалы и тогда можно воспользоваться опорными точками на количественной шкале.

Для формализации представления о высоком человеке ЛПР может предположить, что понятие «высокий» начинается со 175 см, то есть, что для 175 см значение функции принадлежности равно 0; рассуждая далее, ЛИР полагает, что 185 см соответствует значение функции принадлежности, равное 0,5; при росте 190 см значение функции равно 1,0. При формализации представления об «очень высоком» человеке ЛПР считает, что это понятие начинается со 185 см, что соответствует функции принадлежности, равной 0. Далее ЛПР полагает, что росту 195 см соответствует значение функции, равное 0,5, росту 205 см — значение 0,9, а при росте 210 см — значение 1,0 функции принадлежности к понятию «очень высокий» человек. Сравнивая функции принадлежности, построенные ЛПР, мы видим, что для понятия «очень высокий» функция смещается в область более высоких значений количественной шкалы, в качестве которой служит рост человека в см. В том случае, когда трудно подобрать количественную шкалу для оценки качественной характеристики, практически всегда можно использовать шкалу баллов. Например, так, как мы делали это в предыдущем примере при оценке характеристики «привлекательность».

Итак, для характеристик «высокий» и «очень высокий» человек ЛПР может построить следующий вид функций принадлежности на количественной шкале роста человека, заданной в сантиметрах:

Функции принадлежности:

2. Метод коллективной экспертизы.

В этом случае подбирается группа экспертов, обычно от 3 до 7 человек. Для рассматриваемой качественной характеристики решения устанавливается количественная шкала, на которой выделяется от 3 до 7 опорных точек. Каждая опорная точка по порядку возрастания количественной шкалы предъявляется группе экспертов. Каждый из экспертов должен ответить только «да» или «нет» на вопрос: принадлежит ли указанное значение количественной шкалы рассматриваемому качественному понятию. После чего значения функции принадлежности в соответствующих опорных точках определяется путем деления числа экспертов, ответивших «да», на число экспертов, сказавших «нет».

Пример

Пусть ЛПР выбрал 5 экспертов для оценки такой характеристики, как «коммуникабельность» менеджера по продажам. В качестве количественной шкалы выбираем 10-балльную шкалу. Выбираем 5 опорных точек при 2, 4, 6, 8 и 10 баллах количественной шкалы. Проводим коллективную экспертизу. При этом может оцениваться конкретный специалист или это может быть характеристика, необходимая для работы в должности менеджера по продажам. Предположим, что на вопрос — принадлежит ли балльное значение на количественной шкале понятию «коммуникабельность», все эксперты ответили «нет». Это значит, что значение функции принадлежности равно 0/5 = 0.

На вопрос — принадлежит ли 4-балльное значение понятию «коммуникабельность» только 1 эксперт сказал «да». Это значит, что функция принадлежности равна 1/5 = 0,2.

На вопрос — принадлежит ли 6-балльное значение количественной шкалы понятию «коммуникабельность» 4 эксперта из 5 сказали «да». Это будет означать, что функция принадлежности равна 4/5 = 0,8.

На вопросы — принадлежит ли 8- и 10-балльные значения понятию «коммуникабельность» все эксперты сказали «да». Это означает, что функция принадлежности в этих опорных точках равна 5/5 = 1.

Полученные результаты коллективной экспертизы также можно представить в виде графика для функции принадлежности характеристики коммуникабельность.

• 3. С помощью формул, справедливых для нечетких переменных, можно построить следующие функции принадлежности:
• 3.1. Если функцию принадлежности какой-либо качественной характеристики обозначить как ц (Х), гдеХ соответствует наименованию самой характеристики, то можно построить функцию отрицания «НЕ» этой характеристики по формуле:

Например, имея функцию «коммуникабельности» сотрудника в виде следующих сочетаний баллов и значений функции принадлежности:

Коммуникабельный = 0/0; 2/0; 4/0,2; 6/0,8; 8/1; 10/1, можно построить функцию «некоммуникабельности» по этой формуле в следующем виде:

Зная функцию принадлежности характеристики, можно построить функцию принадлежности характеристики, усиленной словом «очень» по формуле:

Так, характеристика «очень коммуникабельный» будет иметь вид:

Видно, что слово «очень» усиливает понятие коммуникабельности путем смещения значений функции принадлежности в область более высоких значений количественной шкалы характеристики.

Приоритеты

При сравнении и выборе вариантов решения часть характеристик имеет большую важность, часть — меньшую, а некоторые характеристики вообще не учитываются.

Иногда целесообразно оценивать приоритетность самих вариантов решения, приоритетность ограничений по времени, по тем или иным ресурсам. Величину, показывающую степень важности, весомости одних элементов задачи принятия решений перед другими будем называть коэффициентом важности или приоритета.

Отметим также, что в процессе принятия решений приоритеты могут различаться в значительной степени и со временем существенно и быстро меняться. Примером может служить рекламный бизнес и мода. Мы можем видеть рядом рекламу зубной пасты, очищающей зубы, и рекламу сигарет, употребление которых, как известно, приводит к желтому налету на зубах. Ну, а о скорости изменения цвета, длины и прочих элементов женской одежды можно говорить много и долго.

Если ЛПР хочет получить запланированный при подготовке решения результат, то он должен быть уверен в определенной стабильности приоритетов элементов задачи в процессе ее решения. Информация о приоритетах нужна также при использовании критериев выбора оптимального варианта решения.

Будем обозначать коэффициенты приоритета «а_г», где i — индекс характеристик, меняющийся от 1 до номера последней характеристики. Формализация приоритетов осуществляется путем экспертных оценок, трудность получения которых связана с получением надежных и достоверных величин приоритетов.

При определении приоритетов свойств и характеристик решения предполагают следующее:

1. Характеристикам решения или другим элементам решения соответствуют определенные величины приоритетов, то есть:

Характеристики — приоритеты.

Величина каждого из коэффициентов приоритета а₍ меньше 1 и не может быть отрицательной, а сумма приоритетов всех характеристик решения равна 1, то есть:

Для объекта управления, который имеет двухуровневую структуру, сумма коэффициентов приоритетов на первом уровне равна 1 и для каждой характеристики первого уровня сумма приоритетов характеристик второго уровня также равна 1, например (рис. 7.6).

Рис. 7.6. Приоритеты двух уровней характеристик

Для уровней структуры объекта должно выполняться условие вложенности характеристик нижнего уровня объекта в соответствующую характеристику верхнего уровня:

Индекс «г» соответствует характеристикам первого — верхнего на схеме уровня, а индекс «;» — характеристикам второго уровня.

Мы видим, что на первом уровне сумма приоритетов равна.

0,2 + 0,8 = 1,.

для левой характеристики на схеме сумма приоритетов также равна.

0,3 + 0,7 = 1,.

и для правой характеристики на схеме сумма приоритетов равна.

0,4 + 0,6 = 1.

Это значит, что условие вложенности выполняется, так как 0,2(0,3 + 0,7) + 0,8(0,4 + 0,6) = 1.

4. Если число характеристик на каждом уровне структуры объекта управления может быть достаточно большим, например, до 10, 20, 30 и более, то в этом случае полагают, что существует ранжированная последовательность приоритетов характеристик, например по убыванию:

Здесь знак > означает «больше».

Известно, что человек в состоянии одновременно оценить приоритеты не очень большого числа характеристик, обычно до 5—7.

5. Экспертное определение коэффициентов приоритета характеристик решения осуществляется поэтапно.

Сначала проще всего составить ряд приоритета характеристик:

Здесь знак > отражает доминирование, предпочтение характеристики стоящей слева от характеристики, стоящей справа.

Например, приоритеты характеристик при производстве некоторого изделия: Безопасность > Прибыль > Стабильность > Внешний вид > Габариты.

Далее составляется вектор приоритета характеристик решения, элементами которого являются экспертные значения в баллах:

где V, — баллы, обычно по 10-балльной шкале как самой удобной. Затем определяется вектор коэффициентов приоритетов:

Причем оба вектора связаны следующим соотношением: