Модель несферического ядра

В несферической модели ядра без каких-либо объяснений постулируется несферическая равновесная форма ядра. В данной модели наряду с низшими колебательными уровнями энергии исследуются вращательные уровни энергии четно-четных ядер, которые отсутствуют у сферических ядер.

Рассмотрим случай ядра, которое обладает осевой симметрией. Такое ядро обладает вращательным энергетическим спектром. Вращательные энергии, отвечающие переходам ядра в основное состояние, задаются формулой.

где — момент инерции, = 0, 2, 4, …- полный спин. Четности всех вращательных состояний положительны.

Формула (3.7) не учитывает способность ядер деформироваться при их вращении. С учетом деформации ядер вращательные энергии определяются формулой.

где — коэффициент пропорциональности, подбираемый из экспериментальных данных. Аксиально несимметричные ядра имеют три вращательные степени свободы и их вращательные спектры имеют более сложный характер.

Ядерный ферми-газ

В этой модели рассматривается движение невзаимодействующих друг с другом нуклонов в области объемом V, в пределах которой потенциал считается постоянным. Одночастичные состояния нейтронов и протонов описываются плоскими волнами, где — спиновая функция нуклона, характеризующая величину проекции спина (= ± ½) на ось квантования z, — импульс нуклона, — его радиус вектор и = 6,5820· 10−22МэВ·сек — перечеркнутая постоянная Планка. Строго говоря, предположение, что одночастичные волновые функции имеют вид плоских волн, справедливо только для ядра, радиус которого R. Однако, если мы не рассматриваем влияние ядерной поверхности, оно может быть использовано и для конечного ядра. При этом необходимо учитывать, что в ограниченном объеме V возможен только дискретный набор значений вектора импульса = {px, py, pz}. Нужные собственные значения импульса.

и кинетической энергии нуклона E = p2/(2m); (m — масса нуклона) можно найти, вводя периодические граничные условия:

(x, y, z) = (x+L, y, z) = (x, y+L, z) = (x, y, z+L),.

где L — длина ребра куба, имеющего объем V. Эти граничные условия дают собственные значения.

px = (2р/L)nx, py = (2р/L)ny, pz = (2р/L)nz,.	(2.1).

где nx, ny, nz — целые числа равные 0, ± 1, ± 2, ± 3,… и m — масса нуклона.

На каждом нейтронном (или протонном) уровне могут в соответствии с принципом Паули находится только два нейтрона (или протона), имеющие разные проекции спина (см. рис. 2.1). В основном состоянии ядра N нейтронов и Z протонов занимают самые низшие энергетические уровни. Граница, разделяющая заполненные и незаполненные одночастичные уровни, называется границей (уровнем) Ферми. Отвечающие ей максимальные величины импульсов для нейтронов и протонов обозначаются символами и. Максимальная кинетическая энергия называется энергией Ферми. Она равна.

(2.2).

для нейтронов и протонов, соответственно.

Элемент объекта в импульсном пространстве d3p = dpxdpydpz в сферической системе координат можно записать в виде d3p = р2sinиdpdцdи. Если ориентация вектора p не существенна, то интегрирование по углам дает d3p = 4рp2dp. Согласно (2.1) среднее число одночастичных состояний нейтрона или протона (d3n = dnxdnydnz) в элементе импульсного пространства d3p дается выражением.

d3n = [2· 4рVp2/(2р)3]dp = (8рVp2/h3)dp,.	(2.3).

где множитель 2 учитывает две возможные ориентации спина нуклона. Поэтому полное число нейтронов и протонов в ядре может быть представлено в виде.

Откуда находим.

= (3р23N/V)1/3, и = (3р23Z/V)1/3.	(2.4).

Подставляя в (2.4) V = (4/3)рR3, где R = r0A1/3 — радиус ядра и считая, что ядро симметрично по нейтронам и протонам (N = Z = A/2), получим следующую оценку импульса Ферми.

pf === ((9)/(8r0))1/3 = 8.1· 10−22 МэВ· с/ферми,.	(2.5).

где для r0 принято значение 1.2 ферми.

Соответствующая энергия Ферми равна (см. (2.2)).

Ef === 32 МэВ.	(2.6).

Если судить по найденной величине энергии Ферми, то в экспериментах при малых и средних энергиях ядро может рассматриваться как сильно вырожденный ферми-газ (т.е. температура его близка к абсолютному нулю). Лишь при энергиях ~AEf ~ 103 МэВ будет возбуждаться заметная часть всех нуклонов.

С помощью соотношения (2.6) можно оценить глубину V0 нуклонной потенциальной ямы. Так как средняя энергия связи нуклона в ядре ~8 МэВ (см. рис. 1.2), то (см. рис. 2.1) получаем значение V0 32 + 8 = 40 МэВ. Полную кинетическую энергию ферми-газа получим путем суммирования по всем занятым нейтронным и протонным одночастичным состояниям:

(2.7).

Это дает в приближении (2.5), (2.6) величину Eпол (3/5)AEf. Откуда находим, что средняя кинетическая энергия нуклонов в ядре Eср = Eпол/A 20 МэВ.

Полученные оценки величин V0 и Eср неплохо согласуются со значениями глубины потенциальной ямы и средней кинетической энергии нуклонов, найденными в других — более строгих теоретических рассмотрениях. Такой успех модели ферми-газа объясняется тем, что ядро, как отмечалось выше, находится в сильно вырожденном состоянии. Принцип Паули препятствует обмену энергией сталкивающихся нуклонов (нуклон не может потерять энергию, так как нижележащие одночастичные состояния заполнены), поэтому картина движения нуклонов в ядре действительно напоминает движение молекул газа в ограниченном объеме. Модель ферми-газа позволяет также качественно объяснить почему легкие и средние стабильные ядра имеют N Z. Из формул (2.2), (2.4), (2.7) вытекает, что ядро с фиксированным значением A имеет минимальную энергию при N = Z = A/2. Это особенно очевидно из соотношения.

Eпол (3/5)AEf + (4/3)Ef (A/2 — Z)2/A,.	(2.8).

которое получается путем разложения величины (2.7) в ряд по малому параметру (A/2 — Z)/A для фиксированного значения A. Симметрия ядра по нейтронам и протонам нарушается из-за кулоновского отталкивания протонов, что приводит к избытку нейтронов в тяжелых ядрах (N > Z).

Область применения модели ферми-газа все же не очень велика, поскольку она совершенно не учитывает индивидуальных особенностей ядер. Кроме перечисленного, модель ферми-газа еще используется при интерпретации данных ядерных реакций, чувствительных к распределению нуклонов внутри ядра по импульсу.