Различные уравнения прямой на плоскости

1. Общее уравнение прямой на плоскости.

Всякое уравнение первой степени относительно х и у, то есть уравнение вида.

(11.1).

где — постоянные коэффициенты, причем, определяет на плоскости некоторую прямую. Это уравнение называется общим уравнением прямой. Справедливо и обратное утверждение: в декартовых координатах всякая прямая определяется уравнением первой степени относительно и .

• 2. Неполное уравнение прямой. Если в общем уравнении прямой (11.1) один или два из трех коэффициентов обращаются в нуль, то уравнение называется неполным. Возможны следующие случаи:
• 1); уравнение имеет вид и определяет прямую, проходящую через начало координат;
• 2); уравнение имеет вид и определяет прямую, параллельную оси ;
• 3); уравнение имеет вид и определяет прямую, параллельную оси ;
• 4); уравнение может быть записано в виде и определяет ось ;
• 5); уравнение записывается в виде и определяет ось .
• 3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если из общего уравнения прямой выразить у как функцию переменной, то получим уравнение.

(11.2).

которое называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Угловой коэффициент равен тангенсу угла, образованного прямой с положительным направлением оси. Коэффициент равен ординате точки пересечения прямой с осью .

4. Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой, то поделив все члены уравнения на, получим уравнение вида.

которое называется уравнением прямой в отрезках, и — отрезки, отсекаемые прямой от осей координат .

5. Нормальное уравнение прямой.

Если обе части общего уравнения прямой умножить на число, которое называют нормирующим множителем, то получим уравнение.

. (11.4).

Это уравнение называют нормальным уравнением прямой. Знак нормирующего множителя выбирают из условия. Коэффициент в нормальном уравнении прямой равен длине перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую и определяет расстояние от начала координат до прямой; - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси .

6. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Если даны координаты двух точек М1(х1; у1) и М2(х2; у2), то уравнение прямой, проходящей через эти точки, записывается в виде:

. (11.5).

Если, то уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид. Если, то уравнение имеет вид .

7. Каноническое уравнение прямой на плоскости.

Всякий ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или параллельный данной прямой, называют направляющим вектором этой прямой. Уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0; у0) в направлении вектора имеет вид:

. (11.6).

Это уравнение называют каноническим уравнением прямой на плоскости.

8. Параметрические уравнения прямой на плоскости.

Если каждое из равных отношений в каноническом уравнении прямой обозначить буквой t и из полученных равенств выразить х и у, то получим систему:

Эту систему называют параметрическими уравнениями прямой на плоскости, проходящей через точку М0(х0; у0) в направлении вектора .

9. Расстояние от точки до прямой Ах + Ву + С = 0 находится по формуле: .

Отклонением точки от прямой Ах + Ву + С = 0 называют величину .

10. Угол между прямыми.

Две прямые на плоскости могут быть параллельными, совпадающими или пересекающимися. Если прямые заданы общими уравнениями.

, то:

• 1) если — прямые совпадают;
• 2) если — прямые параллельны;

3) если — прямые пересекаются.

Угол между прямыми можно определить по формуле:

.

Если, то прямые перпендикулярны.

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами.

то:

• 1) если — прямые параллельны;
• 2) если — прямые перпендикулярны;
• 3) если — прямые пересекаются.

Угол между прямыми определяется по формуле: .

Если прямые пересекаются, то координаты точки пересечения определяют из системы:

в случае задания прямых их общими уравнениями. Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, то система имеет вид:

Пример13. Даны вершины треугольника А (-5; 10), В (5; 16), С (3; 2). Написать:

• 1) уравнения сторон треугольника;
• 2) уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины А;
• 3) уравнение биссектрисы угла С;
• 4) вычислить длину высоты и медианы, проведенных из вершины А.

Решение.

1). Запишем уравнение стороны АВ: так как координаты вершин, А и В известны, то воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:

или преобразуя получим.

Запишем уравнение стороны АС: или.

Запишем уравнение стороны ВС:, или.

2). Вычислим координаты М середины стороны ВС:

Длину медианы АМ вычислим по формуле:

Запишем уравнение медианы АМ: или.

Вычислим угловой коэффициент прямой ВС. Для этого выразим у из ее уравнения: ,.

тогда угловой коэффициент. Высота, опущенная из вершины угла А, перпендикулярна стороне ВС. Ее угловой коэффициент найдем из условия перпендикулярности:. Тогда .

Запишем уравнение высоты, как уравнение прямой, проходящей через точку А (-5; 10) с угловым коэффициентом: .

Определим из условия, что точка, А принадлежит прямой.

Подставляя в уравнение высоты, получим: или .

3). По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника, имеем:

где D — точка пересечения биссектрисы со стороной АВ.

Найдем координаты точки D по формулам деления отрезка в данном отношении:

Запишем уравнение биссектрисы СD:

или после преобразования,.

4). Длина высоты равна расстоянию d точки, А от прямой ВС. Запишем нормальное уравнение прямой ВС:

Длина медианы АМ найдена в пункте 2.

Ответ: 1), , ;

2) — уравнение медианы,.

— уравнение высоты;

3) — уравнение биссектрисы угла С;

4) — длина высоты; - длина медианы.