ΠΠ»ΠΈΡΠ½ΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΏΠ°Π·Π΄ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π² Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ
ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠΈΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π₯Π°ΡΡΠΈΠ½ΡΠΎΠ½Π° ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΡΠΎΠ±ΠΈ ΡΠ°Π·ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡΡΡ Π»ΠΈΡΡ Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°, ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄: ΠΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΡΠ° r ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π·Π°ΠΏΠ°Π·Π΄ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ T. ΠΠ΄Π΅ x — ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ Π²Π·ΡΠΎΡΠ»ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ: ΠΠ΄Π΅ xt—T — ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ·ΡΠ΅Π»ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ t-T… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠ»ΠΈΡΠ½ΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΏΠ°Π·Π΄ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π² Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
Π£ΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π»ΠΈ Π΄ΠΎ ΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π³ΠΈΠ±Π΅Π»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠΈΡ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ΅Π°Π³ΠΈΡΡΠ΅Ρ Π½Π° Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π½Π΅ΡΠ½ΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π² ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ. ΠΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π·Π°ΠΏΠ°Π·Π΄ΡΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π²ΡΠ·Π²Π°Π½ΠΎ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ.
Π Π°Π·Π²ΠΈΡΠΈΠ΅ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ Π²Π·ΡΠΎΡΠ»ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΎΠ±ΠΈ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΠ»ΠΎΠ΄ΠΎΡΠ²ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΉΡΠ° ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ T. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅-Π½ΠΈΠ±ΡΠ΄Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ΅Π΄Π΅, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ²Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ΅ΡΡΡΡΠ°, Π²ΡΠ·ΠΎΠ²Π΅Ρ Π²Π½Π΅Π·Π°ΠΏΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ²ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π·ΡΠΎΡΠ»ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ, ΡΠΎ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΈΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ T. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
dx/dt=f (x), (7).
Π³Π΄Π΅ x — ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ Π²Π·ΡΠΎΡΠ»ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ, ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ:
dx/dt=f (xt—T) (8).
Π³Π΄Π΅ xt—T — ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ·ΡΠ΅Π»ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ t-T.
Π ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π·ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π³ΠΈΠ±Π΅Π»ΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½Ρ Π² ΡΠ°Π·Π½ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΡ Π³ΡΡΠΏΠΏΠ°Ρ . ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Ρ Π½Π°ΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌΡΡ ΠΎΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠΉΡΠ° Π²Π·ΡΠΎΡΠ»ΡΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΠΈ, Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡΡΠ΅Π½ΡΠΈΡ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π° Π½Π° Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ°Π΄ΠΈΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅Π΄Ρ ΠΏΡΠΎΠ΄ΡΠΊΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΈΠ·ΠΌΠ°, ΠΊΠ°Π½Π½ΠΈΠ±Π°Π»ΠΈΠ·ΠΌ ΠΈ Ρ. ΠΏ. Π² Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΡΡΡ Π½Π° ΡΠ°Π½Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ°Π΄ΠΈΠΈ, Π° ΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ Π²Π·ΡΠΎΡΠ»ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ, Ρ. Π΅. ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²Π»ΠΈΡΠ½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΡΠΎΡΡΠ° ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π½ΠΈΡ. Π‘ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΡΠΈΡ ΠΎΠ±ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ², Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (4) ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΏΠΈΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:
dx/dt=x (r-xt-T) (9).
ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠΈΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π₯Π°ΡΡΠΈΠ½ΡΠΎΠ½Π° ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΡΠΎΠ±ΠΈ ΡΠ°Π·ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡΡΡ Π»ΠΈΡΡ Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°, ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄:
(10).
Π‘ΠΌΡΡΠ» ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ (10) Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎΠ²Π΅Π½Ρ Π»ΠΈΠΌΠΈΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ Π½Π΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΉ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡΠ»ΡΡΠΈΠΈ Π² Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠ΅Π΄Ρ, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΎΡ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ·ΡΠ΅Π»ΡΡ ΠΎΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ t-T. ΠΡΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΠ΅Π΅ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π·Π°ΠΏΠ°Π·Π΄ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ:
ΠΠΈΠ΄ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ Π·Π°ΠΏΠ°Π·Π΄ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ w (t-s) ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ Π½Π° ΡΠΈΡ. 4. Π’Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ° ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ:
ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΎΡΡΠ° r ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π·Π°ΠΏΠ°Π·Π΄ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ T.
Π ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠ΅ Ρ ΠΎΡΠΎΡΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ Π·Π°ΠΏΠ°Π·Π΄ΡΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ΅Π³ΡΠ»ΡΡΠΈΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈ ΠΊ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ . ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠ΅Π³ΡΠ»ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ»Π΅ΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π΅ΡΠΆΠΊΠ°, ΡΠΎ Π²Π΅ΡΡΠΌΠ° Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π·Π°Π΄Π΅ΡΠΆΠΊΠΈ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ»Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΡΠΎΠ±ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ, ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΡ Ρ Π½Π°ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄ΠΎΠΉ, Π½Π°ΡΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ ΠΈ ΡΠ°Π·Π°.