Инвестиции с фиксированным доходом

Задание 1

На рынке ценных бумаг имеются безрисковые чисто дисконтные облигации B1, В2, В3, В4, сроки погашения которых в годах для каждого варианта указаны в таблице 1.

Таблица 1.

Вариант.
Тип облигации.	В1.	0,6.
	В2.	1,5.
	В3.	2,4.
	В4.	3,1.

Инвестиции в указанные облигации соответственно равны Р1 Р2, P3, Р4 долл. (табл. 2, столбцы 2, 4, 6, 8). При погашении каждой из дисконтных облигаций обещают выплатить номинальную стоимость, A1 А2, А3 и А4 долл., соответственно (табл. 2, столбцы 1, 3, 5, 7).

На рынке можно приобрести пятилетнюю купонную облигацию номиналом в 1000 долл., по которой обещают производить ежегодные 6%-ные купонные платежи. Если при выполнении пункта 1 (см. ниже) последовательность r (1), r (2), r (3) возрастает, то текущая стоимость облигации принимается равной 920 долл. Если указанная последовательность убывает, то текущая стоимость данной облигации принимается равной 1020 долл. В остальных случаях текущая стоимость рассматриваемой облигации принимается равной 960 долл.

Таблица 2.

Вид облигации.

В1.

В2.

В3.

В4.

В5.

Вар

А1.

Р1.

А2.

Р2.

А3.

Р3.

А4.

Р4.

А5.

f5%.

t.

№.

• 1*. Используя методы интерполирования, определите временную структуру годовых процентных ставок, уравнение кривой рыночной доходности на пятилетнем периоде, а также безрисковые процентные ставки инвестирования на 1, 2,3,4 и 5лет, т. е. r (1), r (2), r (3), r (4), r (5).
• 2*. Постройте график кривой рыночной доходности r = r (t).

Задание 2

процентный ставка доходность облигация В начальный момент времени t = 0 инвестор желает вложить капитал в купонную облигацию В5, по которой обещают производить выплаты 1 раз в год по годовой купонной ставке f5 в течение 5-и лет, а при погашении выплатить номинальную стоимость облигации А5 долл. (табл. 2, столбцы 10,9).

• 3*. Оцените стоимость инвестиции в данную облигацию, соответствующую временной структуре безрисковых процентных ставок, вычисленных в п. 1*.
• 4*. Определите внутреннюю доходность этой облигации (rвнутр).

Кроме чисто дисконтных облигаций, указанных в табл. 2, на рынке появились купонные облигации, параметры которых приведены в табл. 3. (Набор облигаций для каждого варианта задан в табл.4).

Таблица 3.

Таблица 4.

Вариант №.
Тип облигации.	В6.
	В7.
	В8.
	В9.
	В10.

5*. Проведите арбитражную оценку облигаций В5 и В10, используя критерии внутренней доходности и безрисковой ставки.

Замечание. Величины безрисковых процентных ставок инвестирования на срок t лет определяются парным сравнением ставок из временной структуры процентных ставок, полученной в п. 1*, и доходности облигаций В6 В7, В8,В9, В10 (табл3).

6*. Проведите арбитражную оценку одной из двух облигаций В5 или В10, которая по результатам п. 5 имеет меньшую доходность, с помощью закона одной стоимости, используя облигации, В6 В7 В8, В9 а также более доходную другую из облигаций B5 или В10. Опишите арбитражный процесс.

Пусть минимальная номинальная стоимость каждой из облигаций В5, В6, B7, В8, В9, В10 равна 100 долл. Инвестор имеет портфель на сумму 1 000 000 долл., в котором находится облигация с проведенной в п. 6* арбитражной оценкой. Купонный доход облагается налогом по ставке 30%. Комиссионные с продаж и покупок берутся по ставке 0,3%.

7*. Опишите арбитражный процесс для указанного инвестора, используя данные табл. 3.

Если затраты на комиссионные не позволяют осуществить арбитраж, то укажите ставку комиссионных, позволяющую иметь доход после арбитражного процесса.

Задание 3

Пусть безрисковые процентные ставки инвестирования на все сроки в промежутке времени до 5 лет одинаковы и равны внутренней доходности облигации, найденной в п. 4*.

• 8*. Вычислите дюрацию и выпуклость облигации, в которую предполагается вложить капитал в задании II.
• 9*. Определите (тремя способами) стоимость облигации при изменении безрисковой процентной ставки на величину r, равную: а) 0,01; b) 0,02; с) -0,005.

Предполагается, что в течение 5 лет будут действовать следующие ставки налогов: на купонный доход =0,3, на прирост капитала = 0,4. За указанный временной период ожидается средний темп прироста инфляции, соответствующий 5% в год.

• 10*. Определите номинальную внутреннюю доходность облигации с учетом выплачиваемых налогов.
• 11*. Определите реальную внутреннюю доходность облигации с учетом выплачиваемых налогов и ожидаемого годового темпа прироста инфляции.

Задание 4

На рынке имеются облигации трех видов со следующими характеристиками.

Вид облигации,. J.	Номинал. стоимость, Аj, долл.	Годовая купонная ставка fj, %.	Частота купонных платежей mj, в год.	Срок до погашения Тj, лет.

В момент формирования портфеля безрисковые процентные ставки на все сроки инвестирования одинаковы и равны величине внутренней доходности облигации, найденной в п.4*.

12*. Имея 10 000 долл., сформируйте портфель из указанных облигаций на 3 года. Рассчитайте стратегию иммунизации портфеля облигаций, если непосредственно после момента времени t (табл.2, графа 11) безрисковые процентные ставки на все сроки инвестирования увеличились на 0,02, если rвнутрr (t), а инвестиционный горизонт равен Т=t+2 года. Доли облигаций в портфеле должны удовлетворять условию wi>0,i=1,2,3.

Решение.

1*. Процентные ставки для чисто дисконтных облигаций B1, В2, В3, В4 при непрерывном начислении найдем по формуле:

Вид облигации.

В1.

В2.

В3.

В4.

В5.

Вар

А1.

Р1.

А2.

Р2.

А3.

Р3.

А4.

Р4.

А5.

f5%.

t.

№.

Уравнение кривой рыночной доходности в общем виде:

Вместо t подставим значения 1,2,3,4,5.

Т.к. последовательность r (1), r (2), r (3) возрастает то текущая стоимость пятилетней купонной облигации номиналом в 1000долл, по которой обещают производить ежегодные 6%-ные купонные платежи, будет равна 920 долл.

где .

Составляем уравнение:

Рыночная доходность:

2*. Построим график кривой рыночной доходности r = r (t).

Для построения кривой разобьем временной промежуток на более мелкие периоды времени по 0,25года и вычислим r (t) для них.

t.	r (t).
	0,72 819.
0,25.	0,65 887.
0,5.	0,61 422.
0,75.	0,58 957.
	0,58 071.
1,25.	0,58 382.
1,5.	0,59 552.
1,75.	0,61 286.
	0,63 331.
2,25.	0,65 477.
2,5.	0,67 555.
2,75.	0,6 944.
	0,71 049.
3,25.	0,72 341.
3,5.	0,7 332.
3,75.	0,74 028.
	0,74 554.
4,25.	0,75 026.
4,5.	0,75 618.
4,75.	0,76 543.
	0,78 059.

3*. Оценить стоимость инвестиции в данную облигацию, соответствующую временной структуре безрисковых процентных ставок, вычисленных в п. 1*.

А5.	f5%.

4*. Определите внутреннюю доходность этой облигации (rвнутр).

rвнутр=0,7 961.

5*. Проведите арбитражную оценку облигаций В5 и В10, используя критерии внутренней доходности и безрисковой ставки.

Замечание. Величины безрисковых процентных ставок инвестирования на срок t лет определяются парным сравнением ставок из временной структуры процентных ставок, полученной в п. 1*, и доходности облигаций В6 В7, В8,В9, В10 (табл3).

	А.	P.	f.	T.	C1.	C2.	C3.	C4.	C5.
B6.
B7.
B8.
B9.
B10.
B5.		208,3013.

Для арбитражной оценки облигаций В5 и В10 используем критерий внутренней доходности.

У облигации В10 внутренняя доходность выше, чем у облигации В5, поэтому рекомендуем инвестору вкладывать деньги в облигацию В10.

Критерий безрисковой ставки:

В6:

В7:

В8:

В9:

В10:

В5:

значит по критерию безрисковой ставки облигация В10 выгоднее для вложений, чем облигация В5.

6*. Проведите арбитражную оценку одной из двух облигаций В5 или В10, которая по результатам п. 5 имеет меньшую доходность, с помощью закона одной стоимости, используя облигации, В6 В7 В8, В9 а также более доходную другую из облигаций B5 или В10. Опишите арбитражный процесс.

Облигация В5 имеет меньшую доходность. Проводим ее арбитражную оценку.

СХ=С0.

Все х положительны, значит облигация покупается.

Определим стоимость арбитражного портфеля:

РА.

Следовательно, проведенная арбитражная оценка в пользу арбитражного портфеля т.к. он на 208,3013−196,0583=12.243 долл. дешевле. И для покупки необходимо рекомендовать В10.

До арбитражной оценки в портфеле инвестора была облигация В5. После арбитражной оценки необходимо:

• · Продать облигацию В5 за 208,3013 долл, или взять ту же сумму на 5 лет в кредит под 9%годовых;
• · Купить облигаций на сумму 196,05 долл. В следующей структуре:
  • — облигацию В10 на 189,74 долл. (или дать ту же сумму на пять лет под 8% годовых);
  • — облигацию В9 на 1,73 долл. (или дать ту же сумму на пять лет под 7% годовых);
  • — облигацию В8 на 1,53 долл. (или дать ту же сумму на пять лет под 5% годовых);
  • — облигацию В7 на 1,56 долл. (или дать ту же сумму на пять лет под 7% годовых);
  • — облигацию В6 на 1,50 долл. (или дать ту же сумму на пять лет под 9% годовых);
• · Разницу 12,24 доллара использовать по своему усмотрению, так как при этом все платежи по облигации В5 будут компенсированы платежами по облигациям арбитражного портфеля.
• 7*.Пусть минимальная номинальная стоимость каждой из облигаций В5, В6, B7, В8, В9, В10 равна 100 долл. Инвестор имеет портфель на сумму 1 000 000 долл., в котором находится облигация с проведенной в п. 6* арбитражной оценкой. Купонный доход облагается налогом по ставке 30%. Комиссионные с продаж и покупок берутся по ставке 0,3%

Опишите арбитражный процесс для указанного инвестора, используя данные табл. 3.

Из-за налога размером в 30% процентные ставки купонного дохода уменьшаются на 30%, т. е.фактически умножаются на коэффициент 0,7.

	А.	P.	f.	T.	C1.	C2.	C3.	C4.	C5.
B6.			6,3.		106,3.
B7.			4,9.		4,9.	104,9.
B8.			3,5.		3,5.	3,5.	103,5.
B9.			4,9.		4,9.	4,9.	4,9.	104,9.
B10.			5,6.		5,6.	5,6.	5,6.	5,6.	105,6.
B5.		104,15 065.	6,3.		6,3.	6,3.	6,3.	6,3.	106,3.

В арбитражной оценке из п. 6 матрица платежей меняет свой вид следующим образом:

Матрица платежей по оцениваемой облигации:

Тогда получаем следующую систему уравнений:

СХ=С0.

Т.к. все х>0, то облигации покупаем.

Определим стоимость арбитражного портфеля:

Затраты на покупку составляют величину комиссионных 0,3%, т. е.стоимость портфеля, умноженная на коэффициент 0,003. При этом должно быть выполнено условие:

Условие не выполняется, поэтому арбитражная сделка смысла не имеет.

8*. Вычислите дюрацию и выпуклость облигации, в которую предполагается вложить капитал в задании II.

Таблица. Расчет дюрации и выпуклости проведем с помощью таблицы:

k.	Размер платежа. Ctk.	Приведенное значение платежа.
		16,6 726 874.	0,8 004 121.	0,8 004 121.	0,16 008 241.
		15,4 432 502.	0,74 139.	0,148 278.	0,444 834.
		14,3 044 713.	0,6 867 202.	0,20 601 606.	0,82 406 425.
		13,2 496 654.	0,6 360 817.	0,2 544 327.	1,27 216 349.
		148,635 313.	0,71 355 922.	3,56 779 608.	21,4 067 765.
Сумма.		208,305 387.	1,1 962.	4,25 656 405.	24,1 079 207.

rвнутр=0,7 961.

Получили Р (0,09)=208,305;

Дюрация — D1=4,257 лет.

Выпуклость — С1= 24,1079 лет.

• 9*. Определите (тремя способами) стоимость облигации при изменении безрисковой процентной ставки на величину r, равную: а) 0,01; b) 0,02; с) -0,005.
• а) при r=0,01

b) при r=0,02.

c)при r=-0,05.

Предполагается, что в течение 5 лет будут действовать следующие ставки налогов: на купонный доход =0,3, на прирост капитала = 0,4. За указанный временной период ожидается средний темп прироста инфляции, соответствующий 5% в год.

10*.Определите номинальную внутреннюю доходность облигации с учетом выплачиваемых налогов.

Номинальная внутренняя доходность находится из уравнения:

11*. Определите реальную внутреннюю доходность облигации с учетом выплачиваемых налогов и ожидаемого годового темпа прироста инфляции.

Реальная внутренняя доходность находится из уравнения:

На рынке имеются облигации трех видов со следующими характеристиками.

Вид облигации,. J.	Номинал. стоимость, Аj, долл.	Годовая купонная ставка fj, %.	Частота купонных платежей mj, в год.	Срок до погашения Тj, лет.

В момент формирования портфеля безрисковые процентные ставки на все сроки инвестирования одинаковы и равны величине внутренней доходности облигации, найденной в п.4*.

12*. Имея 10 000 долл., сформируйте портфель из указанных облигаций на 3 года. Рассчитайте стратегию иммунизации портфеля облигаций, если непосредственно после момента времени t (табл.2, графа 11) безрисковые процентные ставки на все сроки инвестирования увеличились на 0,02, если rвнутрr (t), а инвестиционный горизонт равен Т=t+2 года. Доли облигаций в портфеле должны удовлетворять условию wi>0,i=1,2,3.

rвнутр=0,7 961.

t=2.

Т=2+2=4.

Планируемая стоимость инвестиции в облигации:

В начальный момент времени портфель формируется так, чтобы дюрация была равна инвестиционному горизонту времени Т.

В начальный момент времени: rвнутр=0,7 961.

Тааблица. Дюрация J1:

k.	Размер платежа. Ctk.	Приведенное значение платежа.
		9,26 260 409.	0,9 262 604.	0,9 262 604.
		94,375 418.	0,94 375 418.	1,88 750 836.
Сумма.		103,638 022.	1,3 638 022.	1,9 801 344.

Примечание:

Таблица. Дюрация J2:

k.	Размер платежа. Ctk.	Приведенное значение платежа.
		9,26 260 409.	0,9 262 604.	0,9 262 604.
		8,57 958 345.	0,8 579 583.	0,17 159 167.
		7,94 692 847.	0,7 946 928.	0,23 840 785.
		74,9 994 696.	0,7 499 947.	2,99 997 878.
Сумма.		100,788 586.	1,788 586.	3,50 260 435.

Примечание:

Таблица. Дюрация J3:

k.	Размер платежа. Ctk.	Приведенное значение платежа.
		9,26 260 409.	0,9 262 604.	0,9 262 604.
		8,57 958 345.	0,8 579 583.	0,17 159 167.
		7,94 692 847.	0,7 946 928.	0,23 840 785.
		7,36 092 522.	0,7 360 925.	0,29 443 701.
		74,9 994 696.	0,7 499 947.	3,74 997 348.
Сумма.		108,149 511.	1,8 149 511.	4,54 703 605.

Примечание:

Получаем портфель П0=П (1000;2790;6210).

Поток платежей:

t (0)k.
U (0)tk.

В момент t=2 безрисковые процентные ставки на все сроки инвестирования увеличились на 0,02, т. е. стали равны 0,12.

В момент t=2 дюрации облигаций станут равными:

Таблица. Дюрация J2:

k.	Размер платежа. Ctk.	Приведенное значение платежа.
		11,1 151 249.	0,11 115 125.	0,11 115 125.
		96,913 346.	0,96 091 335.	1,92 182 669.
Сумма.		107,20 646.	1,720 646.	2,3 297 794.

Примечание:

Таблица. Дюрация J3:

k.	Размер платежа. Ctk.	Приведенное значение платежа.
		11,1 151 249.	0,11 115 125.	0,11 115 125.
		11,1 151 249.	0,11 115 125.	0,2 223 025.
		96,913 346.	0,96 091 335.	2,88 274 004.
Сумма.		118,321 584.	1,18 321 584.	3,21 619 379.

Примечание:

Новая располагаемая сумма:

В момент t=2 первая облигация уже погашена Новый портфель должен удовлетворять условиям:

Эти условия не могут выполняться при .

Тогда имеющийся портфель облигаций продается и вся сумма инвестируется на срок 1 год под безрисковую ставку 12%.

В результате за три года получаем долл., которая меньше изначально планируемой суммы из-за увеличения ставок.