Размеры и размерности в анизотропных средах

Кроме того, к тем методам нахождения величины размерности, которые разработаны в топологии [6] и др., при глубоком внимании тоже есть принципиальные вопросы. Действительно, современному естествознанию известны лишь два вида материи: вещество и поле.

В связи этим обстоятельством достаточно вспомнить лишь по одному из многочисленных примеров анизотропии обоих этих видов материи, например, известную анизотропию жидкокристаллических веществ [13] и центрально-осевую симметрию поля магнитного натяжения [14] вокруг электрических токов.

В том и другом случаях становится ясным невозможность выполнения требований изотропности наших миров уже при взгляде на их структуры, как это показано на рис. 5 и рис. 6.

Действительно, к настоящему времени физика и химия ЖКВ установили существование термотропных, лиотропных и полимерных жидкокристваллических веществ, в которых типы упорядочения структур подчиняются трем большим группам: нематики, смектики и холестерики, наглядное представление о которых можно иллюстрировать как на рис. 1, рис. 2 и рис. 3. При этом обнаруживается отчетливая зависимость типа упорядочения от химической структуры ЖКВ, как это иллюстрируется на рисунках: рис.5-б, рис.5-б и рис.5-б. (рис.1-б, рис.2-б и рис.3-б. по [13]) соответственно.

Рис. 5-а Рис. 5-б Рис. 5-в

Упомянутые исследования уже в конце первого периода изучения ЖКВ обнаружили существование волн плотности, особенно отчетливых для, А — фазы смектического типа упорядочения по направлению оси ОZ вдоль директора ЖКВ. Одновременно с открытием ЖКВ обнаружилась и анизотропия упругих свойств, которая характеризуется тремя модулями упругости, посредством которых можно выразить плотность свободной энергии, обусловленной произвольной деформацией [13]:

(28),.

где, а — элементарная деформация в ЖКВ. Из этих обстоятельств ясно, что направления осей координат в анизатропном веществе не могут быть гомогенными, так как по каждой координатной оси отображаются различные свойства не только количественно, но и качественно. В случае электромагнитного поля «анизотропию» можно иллюстрировать примером магнитного натяжения вокруг электрического тока по [14]. Ясно, что имея два провода с токами противоположного направления, получим геометрическую картину общего для них магнитного поля натяжением как на рис. 6.(рис. 1, рис. 2 и рис. 3 по [14]): Здесь отчетливо видно, что роль.

Рис. 6-а Рис. 6-б Рис. 6 — в

магнитного «монополя» в действительности выполняет электрический ток, создающий данное поле, а известная геометрическая картина электростатического поля как на рис.6-б представляется теперь мгновенным значением в результате сечения магнитного поля натяжением плоскостью, перпендикулярной токам, при соответствующей замене линий на линии, а линий на линии. Определяя величину потока магнитного натяжения вокруг провода с током через замкнутую поверхность вокруг этого провода, представим элементарный поток:

(29).

где dS — элемент поверхности около провода с током как на рис.6-в:

Так как dS = dL dl (11) и dl = r d (12), то вычисления дают:

(30).

Таким образом, поле магнитного натяжения вокруг провода с током есть поле потенциальное, его силовая характеристика направлена по силам взаимодействия токов, создающих данное поле .

Аналогично примеру анизотропии ЖКВ, из этих обстоятельств также ясно, что направления осей координат в поле магнитного натяжения вокруг электрического тока не могут быть гомогенными, так как по каждой координатной оси отображаются различные свойства не только количественно, но и качественно.

Число подобных примеров можно увеличивать неопределенно долго, достаточно вспомнить любой факт из упомянутой выше фрактальной геометрии природы [10], [11] и др. На данное обстоятельство связи размерности объектов с их свойствами мне уже приходилось обращать внимание читателей [15], но мизерный тираж этого издания не позволил ознакомиться с ним широкому кругу специалистов. Поэтому я здесь снова прибегну не только к цитированию указанной работы, но и к тем физическим примерам, наглядно иллюстрирующих указанные соображения.

Как мне уже приходилось отмечать, данное обстоятельство можно выразить обобщенно: при отображении объекта размерностью n₁ в координатной системе n₂, когда модель объекта теряет ряд своих признаков или свойств, а когда, то модель объекта приобретает несуществующие у самого объекта признаки.

Рис. 7 или свойства (см. рис 7.)

Прекрасной иллюстрацией этого обстоятельства являются многочисленные функциональные зависимости в естественных науках, например, в физике отображение законов газового состояния в системе координат (давление, объём, температура). Так, известный закон Клайперона — Клаузиуса — Менделеева: выражается:

(31).

Но если эту закономерность рассматривать в частных сечениях Рис. 8 изотермического (закон Бойля-Мариотта), изохорического (закон Шарля) или изобарического (закон Гей-Люссака) процессов, то каждый из них может быть представлен линейным графиком на плоской системе координат (см. рис. 8).

Таким образом, на основании всего выше изложенного мы вправе сформулировать вывод: в процессе изменения размерности система приобретает или утрачивает часть своих свойств (при увеличении размерности — число свойств возрастает, а при уменьшении размерности — их число уменьшается соответственно).

При этом необходимо здесь подчеркнуть, что немонотонность размерности [2] снимается с учётом гетерогенности — (негомогенности) и гомогенности направлений базиса размерности, позволяя понять различие размерностей в природах миров ядерной физики, химии, биологии, геологии [16] и др.

Таким образом, с учётом всех изложенных выше обстоятельств по анизотропии реальных миров, из выражения (27) ясно видно, что, преследуя нашу цель наполнения естественнонаучным содержанием категорий топологии, мы не сможем выполнить требования к полученному выше по (9) n — мерному кубу Лебега по [6], так как в реальной действительности известны лишь два вида материи — вещество и поле.