Логарифмические уравнения. 
Логарифмические уравнения и их методы решения

Логарифмическое уравнение — это трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент логарифма.

При решении логарифмических уравнений используются два основных метода: 1) переход от уравнения к уравнению вида; 2) введение новых переменных.

Замечание. Так как область определения логарифмической функции только множество положительных действительных чисел, при решении логарифмических уравнений необходимо либо находить область допустимых значений уравнения (ОДЗ), либо после нахождения решений уравнения делать проверку.

Рассмотрим некоторые виды простейших логарифмических уравнений.

Решение простейшего логарифмического уравнения …(1).

Основано на следующем важном свойстве логарифмов:

логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же положительному отличному от единицы основанию равны тогда и только тогда, когда равны эти числа.

Для уравнения (1) из этого свойства получаем: — единственный корень.

Для уравнения вида (2) получаем равносильное уравнение .

Пример 9. Решить уравнение .

Решение. Поскольку, , то исходное уравнение равносильно уравнению. Отсюда получаемединственный корень данного уравнения.

Ответ: .

Пример 10. Решить уравнение .

Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению, которое в свою очередь равносильно квадратному уравнению. Находим корни этого уравнения: х₁=3, х₂=2.

Ответ: х₁=3, х₂=2.

К простейшим логарифмическим уравнениям относятся также уравнения вида (3), которое а) при А1 и В0 имеет единственный корень; б) при А=1 и В=0 имеет решением любое положительное, отличное от единицы, число; в) при А=1 и В0 корней не имеет; г) при А1 и В=0 корней не имеет.

Рассмотрим методы сведения логарифмических уравнений к простейшим уравнениям и системам уравнений и неравенств.

1) Уравнение вида методом замены переменной: сводится к уравнению. Если t₁, t₂,…, t_n — корни этого уравнения, то решение первоначального уравнения сводится к решению совокупности простейших уравнений:, ,…, .

Пример 11. Решить уравнение .

Решение. 1) Обозначим, тогда уравнение примет вид.

2) Решим полученное дробно-рациональное уравнение.

3) Найдем значения старой переменной, решив совокупность уравнений:

х₁=10, х₂ =.

Ответ: х₁=10, х₂ = .

2) Уравнение вида, можно заменить одной из равносильных ему систем: или.

Решение. 1) Уравнение равносильно системе:

• 2) Решим первое неравенство системы: .
• 3) Решим второе уравнение системы:

. Оба корня уравнения удовлетворяют неравенству системы.

Ответ: .

Пример 13. Решить уравнение .

Решение. 1) Найдем область допустимых решений данного уравнения, для чего решим систему неравенств:. Первое неравенство системы выполняется при любых значениях переменной, второе — при. Поэтому система имеет решение .

2) Для решения уравнения перейдем к одному основанию логарифмов, а именно к основанию 2, воспользовавшись свойствами логарифмов:

.

Решая полученное дробно-рациональное уравнение, находим:, ,. Из найденных значений только входит в область допустимых решений уравнения.

Ответ:

Пример 14. Решить уравнение

Решение. 1) Область допустимых решений уравнения.

2) Воспользуемся свойствами логарифмов и преобразуем первоначальное уравнение:

3) Введем новую переменную. Тогда уравнение примет вид:

. Найдем корни этого квадратного уравнения, .

4) Первоначальное уравнение, таким образом, свелось к системе двух простейших логарифмических уравнений:,. Решив эти уравнения получим:

х₁ = 16, х₂ =. Оба подученных корня входят в область допустимых решений первоначального уравнения.

Ответ: х₁ = 16, х₂ = .