Линейная регрессионная модель

Пусть определен характер экспериментальных данных и выделен определенный набор объясняющих переменных.

Для того, чтобы найти объясненную часть, т. е. величину M_x(Y), требуется знание условных распределений случайной величины Y. На практике это почти никогда не имеет места, поэтому точное нахождение объясненной части невозможно. В таких случаях применяется стандартная процедура сглаживания экспериментальных данных, состоящая из двух этапов:

• — определяется параметрическое семейство, к которому принадлежит искомая функция M_x(Y);
• — находятся оценки параметров этой функции с помощью одного из методов математической статистики.

Согласно двумерному нормальному закону линии регрессии M_x(Y) и M_y(X) нормально распределенных случайных величин представляют собой прямые линии, т. е. нормальные регрессии Y по Х и Х по Y всегда линейны.

Общий вид системы одновременных уравнений

В рассматриваемой экономической ситуации значения объясняемых переменных и регрессоров формируются одновременно под воздействием некоторых внешних факторов. Это означает, что рассматриваемая модель не полна: ее следует дополнить уравнениями, в которых объясняемыми переменными выступали бы сами регрессоры. Таким образом, мы приходим к необходимости рассматривать системы одновременных или регрессионных уравнений.

Классическим примером является одновременное формирование спроса Q^d и предложения Q^s товара в зависимости от его цены Р:

Q^d = в₁ + в₂P + в₃I + е₁, (3.1).

Q^s = в₄ + в₅P + е₂,.

где I — доход.

Если предположить, что рынок находится в состоянии равновесия, то в равенствах следует положить Q^d = Q^s = Q. В этом случае наблюдаемое значение Р — это цена равновесия, которая формируется одновременно со спросом и предложением. Таким образом, мы должны считать P и Q объясняемыми переменными, а величину дохода I — объясняющей переменной.

Переменные Q и Р формируют свои значения, подчиняясь уравнениям (3.1), т. е. внутри модели. Такие переменные называются эндогенными. Однако, переменная I считается в данных уравнениях заданной, ее значения формируются вне модели. Такие переменные называются экзогенными.

Главное отличие между экзогенными и эндогенными переменными заключается в том, что экзогенные переменные не коррелируют с ошибками регрессии, между тем как эндогенные могут коррелировать. Можно предположить, что схожие случайные факторы действуют как на цену равновесия, так и на спрос на товар. Причинная зависимость между переменными и приводит, очевидно, к коррелированности их со случайными членами.

Набор экзогенных переменных может быть различным. Например, в модели спроса и предложения в качестве экзогенных переменных к доходу могут быть добавлены процентная ставка, временной тренд и т. д.

Общий вид системы одновременных уравнений:

Пусть Y₁, …, Y_m — эндогенные переменные, Х₁, …, Х_l — экзогенные переменные. Введем блочные матрицы В и Г вида:

в11 … вl m Y11 … Y1 l.

В = … … …; Г = … …

в _ml … в_mm Y_m1… Y_ml

Тогда общий вид системы одновременных уравнений представляется в матричной форме как.

BY + ГX = е, (3.2).

Y₁ Х₁ е₁

где Y = …; Х = …; е = … .

Y_m Х_l е_m