Пример применения фильтра Кальмана-Бьюси

Пример 1. Рассмотрим тестовый пример, для проверки возможностей фильтра, задавая конкретные данные для системы (1)-(3). Пусть операторы скалярные числа равные F == 0.1, G = H = 1; u = 0 — управляющее воздействие равно нулю. Проверку осуществим по упрощённой схеме. Объект; даёт решение частное решение. Наложим на решение нормальную случайную составляющую, тогда — величина на выходе измерительного прибора, поступающая на фильтр (27), (28); q = 0.5 — дисперсия нормально-распределённой случайной величины (t); r = 0.1- дисперсия случайного возмущения v(t) на измерительном приборе. Начальные условия фильтра, .

Рис. 4. Блочная схема тестовых примеров.

Результаты фильтрации по разработанной программе на математическом пакете MathCAD представлены на рис. 5.

Рис. 5. Величина z(t) поступающая на вход фильтра.

Рис. 6. Величины: — исходная величина и отфильтрованная величина соответственно

Рис. 7. Относительная погрешность фильтрации .

Как видно из рис. 7 Относительная погрешность фильтрации не превышает по модулю величины 0.05.

Пример 2. Рассмотрим тестовый пример с оператором F = 0, остальные параметры те же, что и в примере 1. Случай F = 0 описывает объект с постоянным уровнем выходного сигнала,; даёт решение частное решение. Начальные условия фильтра, .

Рис. 8. Величина z(t)=0 поступающая на вход фильтра (белый пунктир), — исходная величина нормального возмущения (черные) и отфильтрованная величина (белая линия) соответственно.

Рис. 9. Абсолютная погрешность фильтрации

Как видно из рис. 9 абсолютная погрешность не превосходит по модулю 0.05 за рассмотренный промежуток времени.

Пример 3. Рассмотрим реальный объект, а именно уровень воды в реке горного типа. Все параметры те же что и в примере 2, за исключением того что z(t) есть реальное значение уровня воды в реке Мзымта за 2010 год взятое по данным Краснодарского центра гидрометеорологии и мониторинга окружающей среды.

Проведя численный эксперимент согласно (14), (15) и сравнив его с результатами регрессионного анализа проведенного на массиве тех же данных сделан вывод об улучшении краткосрочного прогноза уровня воды на основе следующих данных.

Проведенный двухвыборочный F-тест [2, 3] для дисперсий генеральных совокупностей экспериментальных данных и данных полученных с помощью регрессионного анализа показал вероятность сходства этих двух массивов равной P_регр. = 0,897, а для дисперсий генеральных совокупностей экспериментальных данных и данных полученных с помощью фильтрации Калмана-Бьюси — P_К-Б. = 0,977. Следовательно, вероятность совпадения массива данных полученного с помощью фильтрации Калмана-Бьюси с массивом экспериментальных данных больше, чем вероятность совпадения между реальными данными и данными полученными с помощью регрессионного анализа.

Метод, основанный на регрессионном анализе [4], показывает большую среднюю ошибку (), по сравнению с методом, основанном на использовании фильтра Калмана-Бьюси. Визуализация погрешности прогноза с помощью фильтра Калмана-Бьюси e(t) и погрешности прогноза с помощью регрессионного анализа p(t), представленная на рис. 10, подтверждает проведенные расчеты.

Рис. 10. Графики погрешностей p(t) и e(t).