Верхние границы модулей коэффициентов в разложениях выпуклой и звездообразной функций

Рассмотрим семейство (/С) функций:

дающих однолистное конформное отображение круга | z < 1 на выпуклые области, и докажем: какова бы ни была функция w {г) указанного семейства (АГ), имеем:

Предположим сначала, что w (z) отображает круг | г | < 1 на выпуклую бласть, ограниченную многоугольником, т. е.

s.

где 0<�а*< 1, 2 ^aJt^==s'~^ (гл. XII, упр. 4), и покажем, что в этом случае А=1.

|А" | ^ 1 (л = 2, 3,…). Заметив, что

предположим: и докажем, что.

| w (^л) (0) | ^ л!

С этой целью, продифференцировав (24), имеем:

Взяв л гарифмическую производную от последнего равенства, найдём:

или, полагая для сокращения будем иметь

Продифференцировав обе части этого равенства п — 2 раз, пользуясь формул й Лейбница, получим:

С другой стороны, очевидно, имеем:

Пат гая здесь z = 0, получим:

Из равенства (25) при г = 0, пользуясь неравенствами (26) и условиями: окончательно находим:

что и нужно.

Заметим теперь, что любую выпуклую область можно аппроксимировать с помощью выпуклых многоугольных областей и, следовательно, любую функцию f{z) семейства (К) можно рассматривать как предел функций вида:

мы заключаем: так как по доказанному модуль коэффициента при z* в разложении функции (27) не больше С и С вследствие нормирования должно стремиться к единице, то модуль коэффициента при z* в разложении выпуклой функции не больше единицы.

Переходя от семейства (К) выпуклых функций к семейству (S) звездообразных функций с помощью соотношения.

мы получим соответствующие границы для коэффициентов в разложении звездообразной функции.

Действительно, если.

то a_n = nb_n, и так как |&_л|^1, то |д_л|г^л.

Найденные верхние границы для модулей коэффициентов в разложениях выпуклой и звездообразной функций являются точными, потому что они достигаются соответственно функциями.

Мет >д, изложенный в этом пункте, может быть применён для получения точных границ модулей коэффициентов, а также теорем искажения в случае симметричных выпуклых функций. Предоставляя это сделать читателю, заметим, что мажорантой для этого класса будет функция te" = arctg z, которая.

1C.

даёт отображение единичного круга на полосу ширины—, параллельную мнимой оси. Переходя затем от выпуклых симметричных функций к звездообразным симметричным функциям, установим точные границы и для этих последних.

В этом случае мажорантой будет функция w = —,^, которая даст отображение единичного круга на область, полная граница которой состоит из двух сегментов действительной оси и ^—-1-, — «Л.