Проверка формы. 
Занимательная геометрия

ЗАДАЧА Желая проверить, имеет ли отрезанный кусок материи форму квадрата, швея убеждается, что при перегибании по диагоналям края куска материи совпадают. Достаточна ли такая проверка?

РЕШЕНИЕ Таким способом швея убеждается только в том, что все стороны четырехугольного куска материи равны между собой. Из выпуклых четырехугольников таким свойством обладает не только квадрат, но и всякий ромб, а ромб представляет собой квадрат только в том случае, когда его углы прямые. Следовательно, проверка, примененная швеей, недостаточна. Надо хотя бы на глаз убедиться еще в том, что углы при вершинах куска материи прямые. С этой целью можно, например, дополнительно перегнуть кусок по его средней линии и посмотреть, совпадают ли углы, прилежащие к одной стороне.

Игра

Для игры нужен прямоугольный лист бумаги и какие-либо фигуры одинаковой и симметричной формы, например пластинки домино, или монеты одинакового достоинства, или спичечные коробки и т. п. Количество фигур должно быть достаточным, чтобы покрыть весь лист бумаги. Играют двое. Игроки по очереди кладут фигуры в любых положениях на любое свободное место листа бумаги до тех пор, пока их класть будет некуда.

Передвигать положенные на бумагу фигуры не разрешается. Считается выигравшим тот, кто положит предмет последним.

ЗАДАЧА Найти способ ведения игры, при котором начинающий игру обязательно выигрывает.

РЕШЕНИЕ Игроку, начинающему игру, следует первым же ходом занять площадку в центре листа, положив фигуру так, чтобы ее центр симметрии, по возможности, совпал с центром листа бумаги и в дальнейшем класть свою фигуру симметрично положению фигуры противника (рис. 158).

Придерживаясь этого правила, игрок, начинающий игру, всегда найдет на листе бумаги место для своей фигуры и неизбежно выиграет.

Геометрическая сущность указанного способа ведения игры в следующем: прямоугольник имеет центр симметрии, т. е. точку, в которой все проходящие через нее отрезки прямых делятся пополам и делят фигуру на две равные части. Поэтому каждой точке или площадке прямоугольника соответствует симметричная точка или площадка, принадлежащая той же фигуре, и только центр прямоугольника симметричной себе точки не имеет.

Отсюда следует, что если первый игрок займет центральную площадку, то, какое бы место ни выбрал для своей фигуры его противник, на прямоугольном листе бумаги обязательно найдется свободная площадка, симметричная площадке, занятой фигурой противника.

Рис. 158. Геометрическая игра. Выигрывает тот, кто положит предмет последним.

Так как выбирать место для фигуры приходится каждый раз второму игроку, то в конце концов не останется места на бумаге именно для его фигур, и игру выиграет первый игрок.