Дифференцирование функций комплексного переменного

Производная и дифференциал. Условия Коши-Римана. Аналитические функции

1. Производная и дифференциал. Определения производной и дифференциала функции комплексного переменного дословно совпадают с соответствующими определениями для функций одного действительного переменного.

Пусть функция w = f (z) = и + iv определена в некоторой окрестности U точки zo. Дадим независимому переменному z = х + гу приращение Az = А. г + гАу, не выводящее за пределы окрестности U. Тогда функция w = f (z) получит соответствующее приращение Aw = = f (z₀ + Дг) — f (z₀).

Производной функции w = f (z) в точке zq называется предел отношения приращения функции Aw к приращению аргумента Az при стремлении Az к нулю (произвольным образом).

Производная обозначается f'(z_Q), w или у-. Определение производной можно записать в виде.

Предел в (6.1) может и не существовать; тогда говорят, что функция w = f (z) не имеет производной в точке zq.

Функция w = f (z) называется дифференцируемой о точке Zq, если она определена в некоторой окрестности U точки zq и ее приращение Aw можно представить в виде.

где комплексное число Л не зависит от, А г, а функция а (Аг) — бесконечно малая при Az —" 0, т. е. Пт а (Аг) = 0.

Л z—>0.

Так же как и для функций действительного переменного, доказывается, что функция f (z) дифференцируема в точке zq тогда и только тогда, когда она имеет производную в zo. причем А = f'(zo). Выражение f'(zo)Az называется дифференциалом функции f (z) в точке Zq и обозначается dw или df (zo). При этом приращение Az независимого переменногог называется также дифференциалом переменного г и обозначается dz. Таким образом,.

Дифференциал есть главная линейная часть приращения функции.

Пример 6.1. Исследовать, имеет ли функция w = /(г) = Rez производную в произвольной точке Zq.

Решение. По условию, ш = Rea = х. В силу определения производной, предел (С.1) не должен зависеть от того, по какому пути.

Рис. 15.

точка z = Zq + Az приближается к го при Az —? 0. Возьмем вначале Az — Ах (рис. 15, а). Так как Aw = Ах. то = 1. Если же взять Az = iAy (рис. 15, б), то Ах = 0 и, следовательно, Aw = 0.

Значит, и = 0. Поэтому предат отношения при Az -> 0 не A z A z

существует и, следовательно, функция w = Re г = х не имеет производной ни в одной точке.

В то же время функция w = z = х + iy, очевидно, имеет производную в любой точке го, и /'(го) = 1. Отсюда ясно, что действительная и мнимая части дифференцируемой функции /(г) не могут быть произвольными; они должны быть связанными некоторыми дополнительными соотношениями. Эти соотношения возникают оттого, что условие существования производной /'(го) существенно более ограничительно, чем условие существования производной функций одного действительного переменного или частных производных функций нескольких действительных переменных: требуется, чтобы предел в (6.1) существовал и не зависел от пути, по которому точка г = = го + Аг приближается к го при Аг 0. Для вывода указанных соотношений напомним определение дифференцируемости функции двух переменных.

Действительная функция и = и (х, у) действительных переменных х и у называется дифференцируемой в точке Ро (хо, уо), если она определена в некоторой окрестности точки Д> и ее полное приращение, А и = и (х о + Ах, у о + А у) — и (хо, Уо) представимо в виде.

где В и С - действительные числа, не зависящие от Дж, Ау, а {3 и 7 — действительные функции переменных Ах и Ау, стремящиеся к нулю при Ах —" 0, Ау —> 0.

Если функция и дифференцируема в точке Ро, то она имеет част;

г, «ди(Р₀) ^ ди (Ро) _гт ,

ные производные в Ро, причем В = ——, С = ——. Но (в отли;

ох ау

чие от функций одной переменной) из существования частных производных функции и (х, у) еще не следует ее дифференцируемость.

2. Условия Коши-Римана.

Теорема 6.1. Пусть функция w = f (z) комплексного переменного z = (ж, у) определена в окрестности точки, zq = (жо, у о) и f (z) = и (х, у) +iv (x, y). Для того, чтобы f (z) была дифференцируемой в точке Zq, необходимо и достаточно, чтобы функции и (х, у) XI v (x, y) были дифференцируемыми в точке (жо, уо) и чтобы в этой, точке выполнялись условия

Равенства (6.4) называются условиями Коши-Римана^[1].

Доказательство. Необходимость. Пусть функция w = f (z) дифференцируема в точке zq, т. е.

Обозначим f'(zo) = а + ib а (Дг) = fi (Ax, Ау) + г7(Дж, Ay); Az = Ах + (Ау, где /3 и 7 — действительные функции переменных Ах, Ау, стремящиеся к нулю при Дж —> 0, Ау —> 0. Подставляя эти равенства в (6.5) и выделяя действительные и мнимые части, получим:

Поскольку равенство комплексных чисел равносильно равенству их действительных и мнимых частей, то (6.6) равносильно системе равенств.

Равенства (6.7) означают, что функции и (х, у), v (x, y) удовлетворяют условию (6.3) и, следовательно, являются дифференцируемыми. Так как коэффициенты при Дж и Ау равны частным производным по ж и у соответственно, то из (6.7) получаем.

откуда и следуют условия (6.4).

Достаточность. Предположим теперь, что функции и (х, у) и v (x, y) дифференцируемы в точке (хо.уо) и и (х, у) и выполнены условия (6.4).

Обозначая, а =^, 6=—^ и применяя (6.4), придем к равенствам (6.8). Из (6.8) и условия дифференцируемости функций и (х, у), v (x, y) имеем

где ft, 7i, ft, д-2 — функции, стремящиеся к нулю при Ах —> 0, Ау —> -> 0. Отсюда.

An + iAv = (о + ib)(Ах + i.Ay) + (ft + ift) Ax + (71 + *72)Ay. (6.9) Определим функцию а (Дг) равенством.

и положим А = а 4- ib. Тогда (6.9) перепишется в виде равенства.

которое совпадает с (6.2). Дня доказательства дифференцируемости функции f (z) осталось показать, что lim a (Az) = 0. Из равенства Дг-И).

следует, что Ах ^ |Дг|, Ау ^ |Дг|. Поэтому.

Если Az —? 0, то Ах —? 0, Ау —> 0, а значит, и функции ft, ft, 71, 72 стремятся к нулю. Поэтому а (Дг) —> 0 при Az —> 0, и доказательство теоремы 6.1 закончено.

Пример 6.2. Выяснить, является ли функция w = z² дифференцируемой; если да, то в каких точках?

Решение, w = и + iv = (х + iy)² = х² — у² + 2ixy, откуда и = = х² — у², V = 2ху. Следовательно,.

Таким образом, условия (6.4) Коши-Римана выполнены в каждой точке; значит, функция w = г² будет дифференцируемой в С.

Пример 6.3. Исследовать дифференцируемость функции w = — z — x — iy.

Р е ш е н и е. w = u + iv = x — iy, откуда и = х, v = —у и.

Таким образом, условия Коши-Римана не выполнены ни в одной точке, и, следовательно, функция w = z нигде не дифференцируема.

Проверять дифференцируемость функции и находить производные можно непосредственно по формуле (6.1).

П р и м е р 6.4. Используя формулу (6.1), исследовать дифференцируемость функции IV = z².

Решение. Aw — (zq + Az)² — Zq = 2zqAzI- (Az)², откуда.

Следовательно, функция w = zr дифференцируема в любой точке 2о, и ее производная f'(zo) = 2zo-

Так как основные теоремы о пределах сохраняются для функции комплексного переменного, а определение производной функции комплексного переменного также не отличается от соответствующего определения для функций действительного переменного, то известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и сложной функции остаются справедливыми и для функций комплексного переменного. Аналогично доказывается также, что если функция f (z) дифференцируема в точке zo. то она непрерывна в этой точке; обратное утверждение неверно.

3. Аналитические функции. Функция w = /(^дифференцируемая нс только в самой точке zq, но и в некоторой окрестности этой точки, называется аналитической в точке zq. Если f (z) является аналитической в каждой точке области D, то она называется аналитической (регулярной, голоморфной) в области D.

Из свойств производных сразу следует', что если f (z) и g (z) — аналитические функции в области D, то функции f (z) + g (z), f (z) — g (z), f (z) • g (z) также аналитичны в области D, а частное f (z)/g (z) аналитическая функция во всех точках области D. в которых g (z) ф 0. Например, функция

является аналитической в плоскости С с выброшенными точками z = = 1 и z — i.

Из теоремы о производной сложной функции вытекает следующее утверждение: если функция и = u (z) аналитична в области D и отображает D в область D' переменного и, а функция w = f (u) аналитична в области D', то сложная функция w = f (u (z)) переменного z аналитична в D.

Введем понятие функции, аналитической в замкнутой области D. Отличие от открытой области здесь в том, что добавляются точки границы, не имеющие окрестности, принадлежащей D; поэтому производная в этих точках нс определена. Функция f (z) называется аналитической (регулярной, голоморфной) в замкнутой области D, если эту функцию можно продолжить в некоторую более широкую область Di, содержащую D, до аналитической в D функции.

• [1] Условия (6.4) изучались еще в XVIII в. Даламбером и Эйлером. Поэтомуих иногда называют также условиями Даламбера-Эйлера, что с историческойточки зрения более правильно.