Интегрирование рациональных функций
Рассмотрим интегралы от четырех основных видов простых дробей. Дроби вида I и 11 интегрируются с помощью подстановки t = х — а. Второй интеграл в правой части этого равенства вычисляется по формуле (11 10) при, А = 0. В — 1, т. е исходный интеграл равен: Теперь найдем интеграл от дроби вида IV. Введем новую переменную Подставляя (11.11) в исходный интеграл, получаем: Выделим из класса правильных… Читать ещё >
Интегрирование рациональных функций (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Интегрирование простых дробей
При классификации элементарных функций был выделен важный класс рациональных функций,.
которые представимы в виде дроби P (x)/Q (x)> где Р (х) и Q (x) —.
многочлены. Если степень числителя нс меньше степени знаменателя, то такая лробь является неправильной; тогда, выполнив деление, получим:
где 1У (х) — некоторый многочлен, а второе слагаемое в правой части (11.7) представляет собой правильную дробь, у которой степень числителя R (x) меньше степени знаменателя. Например,.
Выделим из класса правильных дробей так называемые основные простые дроби. Это дроби следующих четырех типов:
где а, ру q, А, В — вещественные числа, к > I — целое число; кроме того, предполагается, что знаменатели дробей вида III и IV не имеют вещественных корней, т.с. 
.
Рассмотрим интегралы от четырех основных видов простых дробей. Дроби вида I и 11 интегрируются с помощью подстановки t = х — а.
3. При рассмотрении интеграла от дроби вида III выделим из трехчлена в знаменателе полный квадрат.
Отсюда следует подстановка / = х + ру х = t — р, dx = d/, и тогда.
где а2 — q — р2 > 0 по условию (11.9). Первый интеграл в правой части берется непосредственно (или подстановкой z = t2 + а2), второй интеграл при помощи подстановки z = tfa сводится к табличному интегралу:
Таким образом, окончательно получаем:
2х +.
Пример 13. Найти J;
х +2х+5
Можно повторить весь процесс нахождения интеграла вида III, однако здесь мы воспользуемся формулой (11.10), подставив в нес значения А = 2, В = 1, р * 1,9*5. Получаем:
4. Теперь найдем интеграл от дроби вида IV. Введем новую переменную 
Подставляя (11.11) в исходный интеграл, получаем:
Разобьем интеграл в правой части на два слагаемых.
Первый интеграл сводится к табличному интегралу подстановкой z = /2 + 1:
Второй интеграл вычисляется по рекуррентной формуле (11.6). Сводя все подстановки вместе, окончательно получаем рекуррентную формулу.
Пример 14. Найти интеграл 
Не повторяя вывода формулы (11.12), подставим в нее все входящие в нее числа:
Получаем: 
Второй интеграл в правой части этого равенства вычисляется по формуле (11 10) при А = 0. В — 1, т. е исходный интеграл равен:
