Канонические преобразования. 
Примеры канонических преобразований. 
Примеры канонических преобразований для доказательства теорем в теоретической механике

Канонические преобразования переменных — это такие преобразования, при которых сохраняется канонический вид уравнений Гамильтона. Преобразования производят с помощью производящей функции, которая является функцией координат, импульсов и времени. Полный дифференциал производящей функции определяется следующим образом:

Выбирая производящую функцию от тех или иных переменных, получаем соответствующий вид канонических преобразований. Заметим, что если частная производная будет браться по «малым», то будем получать малое, если же по «большим», то и получать будем соответственно .

Функция Гамильтона-Якоби

При рассмотрении действия, как функции координат (и времени), следует выражение для импульса:

Из представления полной производной действия по времени следует уравнение Гамильтона-Якоби:

Здесь действие рассматривается как функция координат и времени: .

Путем интегрирования уравнения Гамильтона-Якоби, находят представление действия в виде полного интеграла, который является функцией sкоординат, времени, и s+1 постоянных (s — число степеней свободы). Поскольку действие входит в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде производной, то одна из констант содержится в полном интеграле аддитивным образом, т. е. полный интеграл имеет вид:

Константа, А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде лишь в виде производной. А определяет, что, фактически, лишь sконстант меняют действие существенным образом. Эти константы определяются начальными условиями на уравнения движения, которые для любого значения, А будут иметь одинаковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби.

Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом уравнения Г.-Я. и интересующими нас уравнениями движения, необходимо произвести каноническое преобразование, выбрав полный интеграл действия в качестве производящей функции.

Константы будут выступать в качестве новых импульсов. Тогда новые координаты.

тоже будут константы, поскольку.

Выражая из уравнения координаты в виде функций от, мы и получим закон движения:

Решение задачи на нахождение зависимости существенно упрощается в случае разделения переменных. Такое возможно, когда какая-то координата может быть связана лишь с соответствующим ей импульсом и не связана ни с какими другими импульсами или координатами, входящими уравнение Г.-Я. В частности это условие выполняется для циклических переменных.

Итак, нахождение уравнений движения методом Гамильтона-Якоби сводится к следующему:

• 1. составить функцию Гамильтона;
• 2. записать уравнение Г.-Я., и определить какие переменные разделяются;
• 3. Путем интегрирования уравнения Г.-Я. получить вид полного интеграла ;
• 4. Составить систему s уравнений, и получить закон движения ;
• 5. По необходимости найти закон изменения импульсов:. Для чего продифференцировать полный интеграл по координатам, а потом подставить их явный вид, полученный в пункте 4.
• (4). Как известно, замена функции Лагранжа на

.

где — произвольная функция, не изменяет уравнений Лагранжа. Показать, что это преобразование является каноническим, и найти его производящую функцию.

Решение:

Перепишем штрихованную функцию Лагранжа, представив полную производную функции через частные:

Функции Гамильтона, соответствующие штрихованной и не штрихованной функциям Лагранжа, определяются следующим образом:

Распишем, используя представление штрихованной функции Лагранжа :

Подставляя формулы и в выражение для штрихованной функции Гамильтона, получим:

Взаимно сократив второе слагаемое с последним, учитывая зависимость, получим:

Или, Но согласно каноническим преобразованием с производящей функцией Ф:

Следовательно,.

Полученное соотношение определяет условие на временную часть производящей функции канонического преобразования, соответствующего преобразованию функции Лагранжа .

Поскольку вид обобщенных импульсов и координат при преобразовании функции Лагранжа не изменился, координатно-импульсная часть производящей функции должна соответствовать тождественному каноническому преобразованию. Как было показано в задаче № 9.32 [3] (д/з пред. занятия), производящая функция определяющая тождественное каноническое преобразование с неизменным гамильтонианом, имеет вид:

Учитывая условие на временную часть производящей функции, окончательно получим:

Полученная производящая функция определяет тождественное каноническое преобразование с заменой функции Гамильтона соответствующей замене функции Лагранжа .

Пример Задача. Система, состоящая из двух шариков массами, соединенных невесомой пружиной, расположенной вертикально, начинает двигаться в поле сил тяжести. Длина пружины —. Произвести каноническое преобразование и записать новую функцию Гамильтона, соответствующие производящей функции.

.

Решение:

Составим функцию Гамильтона системы:

Здесь потенциальная энергия состоит из энергии гармонических колебаний и потенциальной энергии шариков в поле сил земного тяготения. По определению потенциального поля:

Мы имеем дело с одномерным движением, поэтому градиент в формуле заменяется производной по х. В то же время сила, является суммарной силой тяжести. Принимая во внимание принцип суперпозиции гравитационного поля, проинтегрируем последнее уравнение:

Значение смещения пружины от положения равновесия будет определяться следующим образом:

Подставив выражения и в формулу, получим вид функции Гамильтона, выраженной через импульсы и координаты явно:

Переход к новым каноническим переменным производится в случае, когда возможно упростить вид функции Гамильтона, а соответственно и исходящих из нее уравнений движения.

В данной ситуации удобно выбрать новые координаты так, чтобы одна описывала движение центра масс системы, а вторая колебания пружины в собственной системе отсчета. Убедимся, что заданная в условии производящая функция отвечает именно такому преобразованию.

Новая координата совпадает со значением смещения пружины от положения равновесия.

Новая координата совпадает со значением положения центра масс системы.

Сложив оба уравнения, получим:

Соответственно.

.

где.

.

— приведенная масса.

Запишем функцию Гамильтона в новых переменных:

.

где.

.

— суммарная масса системы.

Действительно, функция Гамильтона в новых переменных распалась на две части, что соответствует двум парам канонических уравнений. Одна часть описывает колебания шариков в собственной системе отсчета, другая — движение системы как целого в поле сил тяжести.

Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. и закон свободного движения материальной точки.

Решение:

1. Составим функцию Гамильтона свободной частицы:

переменная интеграл уравнение функция гамильтон.

2. Запишем уравнение Г.-Я.:

3. Произведем разделение переменных и проинтегрируем по времени.

Используем начальное условие:

Тогда подставляя вид функции S в уравнение Г.-Я., последнее примет вид:

Откуда Следовательно, полный интеграл уравнения Г.-Я.:

4. Закон движения определяется из канонического преобразования:

Откуда сам закон движения:

5. Импульс свободно движущейся материальной точки определяется следующим образом:

Действительно, частица в отсутствии внешнего поля движется с постоянным импульсом.