Сглаживание эмпирического распределения. 
проверка гипотезы о законе распределения

Процедура сглаживания анализируемого распределения заключается в замене эмпирических частот теоретическими, которые определяются по формуле теоретического распределения, но с учетом фактических значений переменной. На основе сравнения эмпирических и теоретических частот рассчитываются критерии согласия, которые используются для проверки гипотезы о соответствии исследуемого распределения тому или иному типу теоретических распределений.

Выбор конкретного типа теоретического распределения осуществляется на основе содержательного анализа ранее полученных статистических характеристик вариационного ряда, а также на визуальном анализе построенных графиков распределения. Для проверки статистической гипотезы о законе распределения наиболее универсальным является критерий ч2 — критерий Пирсона. Статистикой этого критерия является величина:

(12).

где — число интервалов,.

— эмпирические абсолютные частоты,.

— абсолютные частоты теоретического распределения.

Для корректности применения критерия Пирсона необходимо, чтобы для всех интервалов. Если частота теоретического распределения, в каком либо интервале меньше, либо равна 5, то этот интервал объединяется с соседним интервалом.

Расчетное значение критерия Пирсона сравнивается с критическим для распределения хи-квадрат с степенями свободы, которое может быть вычислено в вероятностном калькуляторе. Здесь — число интервалов, — число параметров распределения. Если расчетное значение меньше критического, то принимается гипотеза о соответствии эмпирического распределения теоретическому.

Для ряда общей площади жилых помещений, приходящейся в среднем на одного жителя, проверим гипотезы о соответствии распределения нормальному и логнормальному распределениям. Предварительный анализ показал, что распределение, близко к нормальному, имеет незначительную отрицательную асимметрию. Логнормальное распределение имеет положительную асимметрию, поэтому оно, скорее всего, будет менее подходящим для анализируемого показателя.

На рисунке 14 приведены результаты расчета статистики критерия хи-квадрат для проверки гипотезы о соответствия распределения ряда общей площади жилых помещений, приходящейся в среднем на одного жителя, нормальному распределению.

Рис. 14. Результаты проверки гипотезы о соответствии распределения ряда общей площади жилых помещений, приходящейся в среднем на одного жителя, нормальному распределению с помощью критерия хи-квадрат

Статистика критерия составила 6,03. Сравним это число с критическим значением. Для этого в вероятностном калькуляторе вычислим критическое значение для хи-квадрат распределения с 4 степенями свободы и уровнем значимости: .

Так как 6,03<9,488, то гипотеза о соответствии эмпирического распределения регионов по общей площади жилых помещений, приходящейся в среднем на одного жителя, нормальному принимается, как и предполагалось ранее. На рисунке 15 представлена гистограмма для анализируемого ряда вместе с теоретическим нормальным распределением.

Рис. 15. Гистограмма и расчетная кривая нормального распределения для показателя общей площади жилых помещений, приходящейся в среднем на одного жителя, в 2005 г.

На рисунке 16 приведены результаты расчета статистики критерия хи-квадрат для проверки гипотезы о соответствия распределения ряда общей площади жилых помещений, приходящейся в среднем на одного жителя, логнормальному распределению.

Рис. 16. Результаты проверки гипотезы о соответствии распределения ряда общей площади жилых помещений, приходящейся в среднем на одного жителя, логнормальному распределению с помощью критерия хи-квадрат

Статистика критерия составила 9,78. Сравним это число с критическим значением. Для этого в вероятностном калькуляторе вычислим критическое значение для хи-квадрат распределения с 3 степенями свободы и уровнем значимости:. Так как 9,78>7,815, то гипотеза о соответствии эмпирического распределения регионов по общей площади жилых помещений, приходящейся в среднем на одного жителя, логнормальному отвергается. Если взять уровень значимости, то и гипотеза о соответствии эмпирического распределения регионов по общей площади жилых помещений, приходящейся в среднем на одного жителя, логнормальному принимается (9,78<11,345).

На рисунке 17 представлена гистограмма для анализируемого ряда вместе с теоретическим логнормальным распределением.

Рис. 17. Гистограмма и расчетная кривая логнормального распределения для показателя общей площади жилых помещений, приходящейся в среднем на одного жителя, в 2005 г.

Таким образом, распределение регионов по общей площади жилых помещений, приходящейся в среднем на одного жителя, достаточно хорошо аппроксимируется нормальным распределением, логнормальное распределение является менее подходящим для данного ряда.