Численное дифференцирование. 
Численные методы

Аппроксимация производных. Напомним, что производной функции называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента при стремлении к нулю:

. (5.1).

Обычно для вычисления производных используют готовые формулы (таблицу производных) и к выражению (5.1) не прибегают. Однако в численных расчетах на компьютере использование этих формул не всегда удобно и возможно. В частности, функция может быть задана в виде таблицы значений (полученных, например, в результате численного расчета). В таких случаях производную приближенно можно найти опираясь на формулу (5.1). Полагая равным некоторому конечному числу, получают приближенное равенство для вычисления производной.

. (5.2).

Это соотношение называется аппроксимацией (приближением) производной с помощью конечных разностей (значения и в формуле (5.2) конечны в отличие от их бесконечно малых значений в (5.1)).

Соотношение (5.2) может быть использовано для приближенного вычисления производной от функции, заданной как аналитическим выражением, так и таблично. В первом случае выбор величины произволен и определяется характером поведения функции. Для получения хорошей точности величину выбирают достаточно малой, такой чтобы на интервале функция была бы монотонна и менялась не существенно. В случае, когда функция задана таблично, величина равна разности между соседними узлами таблицы в окрестности которых вычисляется производная. При этом, если количество узлов невелико и узлы расположены на большом расстоянии друг от друга, формула (5.2) может давать существенную погрешность. Вопросы оценки погрешностей, возникающих при численном дифференцировании, будут рассмотрены ниже.

Сейчас обратимся к рассмотрению более общего подхода к задаче численного дифференцирования функции, заданной таблицей значений, в основе которого лежит использование интерполяционных полиномов.

Использование интерполяционных полиномов. Пусть в точках известны значения функции:. По табличным данным аппроксимируем функцию интерполяционным полином степени n:

.

Тогда для k-той производной от функции на отрезке интерполирования получим приближенную формулу.

. (5.3).

Однако на практике редко прибегают к аппроксимации функции одним интерполяционным полиномом, т. е. к глобальной интерполяции, в частности, из-за свойственной ей большой погрешности. Как правило, пользуются локальной интерполяцией. При этом в окрестности точки, в которой нужно вычислить производную, функцию интерполируют полиномом невысокой степени (напрмиер,).

Рассмотрим простейшие примеры. Пусть нужно вычислить производные функции в окрестности табличной точки. Для простоты будем считать, что табличные точки равноотстоят друг от друга, т. е.

.

а) Приблизим в рассматриваемой окрестности функцию интерполяционным полиномом первой степени, т. е. прямой, проходящей через точки и :

Тогда

. (5.4).

С другой стороны в рассматриваемой окрестности функцию можно приблизить и так В этом случае.

. (5.5).

Мы получили простейшие приближенные формулы для первой производной от функции, заданной таблично. Формулу (5.4) называют левым разностным отношением, а формулу (5.5) — правым разностным отношением. Смысл этих названий нетрудно понять из рисунка 5.1. Заметим, что эти соотношения можно было написать сразу, опираясь на формулу (5.2), полагая, например, и, и не привлекая интерполяцию в качестве промежуточного звена. Понятно также, что для получения приближенных формул для второй и высших производных линейного приближения функции недостаточно.

б) Приблизим в рассматриваемой окрестности функцию интерполяционным полиномом второй степени, т. е. параболой, проходящей через значения функции в точках :

.

Эта форма записи интерполяционного полинома несколько отличается о ньютоновской, которая была рассмотрена ранее в главе 3 при описании кусочно-квадратичной интерполяции (формула (3.12)). Такая форма записи является более компактной.

Дифференцируя это выражение один раз, получим новую приближенную формулу для первой производной:

. (5.6).

Здесь, в отличие от (5.4) и (5.5), приближение зависит от x. В частности, для имеем.

. (5.7).

Это так называемое центральное разностное отношение. По сути оно определяет тангенс угла наклона прямой, проходящей через две табличные точки.

и .

Дифференцируя полином два раза, получаем приближенную формулу для второй производной:

. (5.8).

Аналогичным образом, привлекая интерполяцию полиномами более высокой степени, можно получать новые формулы для первой и второй производных, а также формулы для производных высших порядков.

Так, например, в случае интерполяции функции полиномом четвертой степени можно получить следующие формулы (центральные разностные соотношения) для первой и второй производной:

.

.