Расчет показателей надежности восстанавливаемых систем

Нерезервированная восстанавливаемая система в произвольный момент времени находится в одном из двух состояний: работоспособном или неработоспособном. Процесс ее функционирования можно отразить графом состояний (рис. 3.1):

Рис. 3.1. Граф состояний нерезервированной системы

Из состояния в состояние система переходит в результате отказов с интенсивностью, а из в — в результате восстановления с интенсивностью. В дальнейшем будем считать, что потоки отказов и восстановлений являются простейшими:,. Это значит, что производительность труда ремонтника постоянна и не зависит от времени. Поэтому время восстановления имеет экспоненциальный закон распределения:

;

Основным показателем надежности нерезервированной восстанавливаемой системы является коэффициент готовности. Сокращение времени восстановления ведет к увеличению коэффициента готовности и не влияет на безотказность системы. Рассмотрим работу системы на интервале времени. Обозначим через, и , — вероятности того, что в момент времени t и система находится в состоянии и. Тогда и. Обозначим также через и — условную вероятность того, что в момент времени t система находится или в состоянии или в состоянии, а в момент времени или в состоянии или в состоянии, т. е. за интервал времени произошел отказ (восстановление) системы.

Тогда:

Будем считать, что за время может произойти только один отказ или только одно восстановление. Тогда на интервале могут произойти четыре несовместимые события: — в момент времени t система находилась в состоянии, в момент времени она осталась в том же состоянии, т. е. отказа не произошло; - отказ произошел; - восстановление произошло;- восстановление не произошло.

Тогда:

Или:

.

Решение системы при начальных условиях и, т. е. в начальный момент времени система работоспособна, имеет вид:

.

Если в начальный момент времени система неработоспособна, то, и решение системы имеет вид:

.

При независимо от начального состояния системы (или) вероятности, стремятся к постоянным значениям:

; .

Это означает, что при экспоненциальных законах распределения времени наработки на отказ и времени восстановления, случайный процесс работы восстанавливаемой системы стабилизируется, и вероятность застать систему работоспособной в произвольный момент времени остается постоянной. Система с указанным свойством называется эргодической, а сам процесс — Марковским случайным процессом. Случайный процесс называется Марковским, если для любого момента времени вероятности всех состояний системы в будущем зависят только от ее состояния в настоящем и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Процесс функционирования резервированной восстанавливаемой системы является Марковским случайным процессом с дискретными состояниями. Случайный процесс называется дискретным, если его состояние можно пронумеровать и переход из состояния в состояние происходит скачком. Резервированная восстанавливаемая система описывается графом состояний (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Граф состояний резервированной системы

В отличие от нерезервированной системы резервированная система в общем случае имеет три состояния: — исправное, — неисправное, но работоспособное, — неработоспособное.

Переход системы из состояния в состояние происходит под воздействием потоков отказов и восстановлений. Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс есть Марковский процесс и задается системой дифференциальных уравнений.

Система составляется по следующим правилам. Производная вероятности состояния равна сумме стольких слагаемых, сколько стрелок связано с этим состоянием. Каждое слагаемое равно произведению интенсивности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. Слагаемое имеет знак минус, если стрелка исходит из данного состояния, а знак плюс — если стрелка направлена в данное состояние. Полученная система уравнений называется системой уравнений Колмогорова.

Например, для графа состояний, показанного на рис. 3.2 получим следующую систему дифференциальных уравнений:

Система решается с помощью преобразований Лапласа или численными методами. При справедлива предельная теорема А. А. Маркова: если все интенсивности потоков событий постоянны, а граф состояний таков, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое за конечное число шагов, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. В соответствии с этой теоремой при производная и система дифференциальных уравнений превращается в однородную систему линейных алгебраических уравнений:

Система дополняется нормировочным уравнением:

.

В качестве примера рассмотрим граф состояний системы с общим резервированием замещением кратности m и неограниченным восстановлением (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Граф состояния системы с общим резервированием замещением

Состояния системы имеют следующий смысл: — основная и все резервные системы работоспособны; - основная и i-1 резервная система отказали, все остальные резервные системы работают; - основная и все резервные системы отказали. Каждой дуге ведущей из состояния в состояние приписано значение, т.к. одновременно работает только одна резервная система. Дуге ведущей из в приписано значение, т.к. при этом восстанавливается i резервных систем.

Резервирование с восстановлением является эффективным средством повышения надежности, с помощью которого можно добиться сколь угодно высокой надежности систем.

На практике часто встречается необходимость оценки надежности достаточно сложных резервированных и восстанавливаемых систем. В этом случае метод Марковских цепей приведет к сложным решениям из-за большого числа состояний системы, поэтому для расчета показателей надежности используют простой приближенный метод расчета. Метод основан на следующих допущениях:

Время восстановления намного меньше времени безотказной работы.

Интенсивности отказов и интенсивности восстановлений — постоянные величины.

Отказы и восстановления отдельных подсистем — независимые случайные события. Для последовательного включения подсистем имеются следующие приближенные зависимости:

Для параллельного включения:

В формулах приняты следующие допущения: — интенсивность отказов последовательной (параллельной) группы из n (m) подсистем;- коэффициент готовности последовательной (параллельной) группы из n (m) подсистем; - интенсивности восстановлений последовательной (параллельной) группы из n (m) подсистем.

Далее расчет надежности системы сводится к составлению структурной схемы расчета надежности и ее постепенном упрощении при помощи формул до получения показателей, и для системы.

Задача 3.

Нерезервированная система состоит из 6 элементов. Интенсивности их отказов равны: л1=0,0003 час-1; л2=0,0002 час-1; л3=0,0009 час-1; л4=0,0006 час-1; л5=0,0004 час-1; л6=0,0003 час-1. Интенсивности восстановления элементов одинаковы и равны м=0,4 час-1.

Требуется определить показатели надежности системы.

Решение. Вычислим интенсивность отказов системы:

Тогда наработка на отказ, среднее время восстановления и коэффициент готовности равны соответственно:

.

.

Поскольку интенсивности восстановления элементов одинаковы, то систему можно рассматривать как один элемент с интенсивностью отказов лс и интенсивностью восстановления м. Исходя из этого, функция готовности системы будет равна.

Табулируя функцию от 0 до 20 часов с шагом 2 часа, получим значения, приведенные в таблице:

Коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя связаны между собой зависимостью .

Следовательно КП=0,0066.

Коэффициент оперативной готовности.

Табулируя от 0 до 20 часов с шагом 2 часа, получим значения, приведенные в таблице: