Особенности идентификации как оптимизационной задачи

Широкий спектр задач идентификации обусловливает, соответственно, большое разнообразие приемов и алгоритмов, применяемых для их решения. Однако практически все эти алгоритмы и их использование в процедурах идентификации имеют некоторую общую специфику, на которую важно обратить внимание.

Во-первых, при исследовании объектов с целью поиска их математического описания, как правило, применяют стандартные алгоритмы. Их необходимо хорошо понимать, чтобы правильно поставить задачу, подготовить исходные данные, выбрать параметры. Необходимость понимания существам алгоритма связана с тем, что необходимо хотя бы на качественном уровне прогнозировать результат и после вычислений либо принять его, либо повторить обработку, проведя необходимую коррекцию.

При использовании алгоритмов идентификации объектов необходимо иметь в виду, что в большинстве случаев они построены на основе принципа учета начальных представлений об исследуемом объекте. Однако начальные представления могут быть частично и даже полностью ошибочными, что может при очередном шаге реализации алгоритма не только улучшить, а даже ухудшить положение.

Начальные представления называют априорной (доопытной) информацией, в противоположность апостериорной (послеопытной) информации. Обычно апостериорная информация — это выборка (массивы, составленные из значений сигналов, измеренных на входе и выходе объекта); характер априорной информации может быть более разнообразен — представление о структуре оператора изучаемого объекта, частотной характеристике сигналов и объекта, функции распределения случайных величин и т. п.

В настоящее время проблемы, связанные с созданием математических моделей объектов технологических процессов, экономики и живой природы, формируют одно из основных направлений науки и техники — моделирование.

Это объясняется тем, что математические модели объектов широко применяются как при создании систем управления этими объектами, так и при их эксплуатации.

В данном работе рассматриваются только модели технических объектов и систем. Объекты и системы представляют собой совокупность материальных тел, находящихся в непрерывном взаимодействии друг c другом и с окружающей средой.

Построение математической модели объекта может производиться несколькими методами: аналитическим, экспериментальным и экспериментально-аналитическим.

Аналитический метод предусматривает получение математического описания объекта на основе законов физики, механики, химии и т. д. Такой подход дает положительный результат, если рассматриваемый объект достаточно прост по структуре и хорошо изучен. Если же объект изучен недостаточно или же настолько сложен, что аналитическое описание его математической моделью практически невозможно, прибегают к экспериментальным методам, суть которых сводится к статистической обработке технологических данных. При экспериментально-аналитическом методе априорная модель, полученная аналитическим путем, уточняется в соответствующих экспериментах.

Взаимодействие объекта с окружающей средой поясним с помощью простейшей схемы (рис.1). Воздействия внешней среды на объект в обобщенном виде изображены стрелками, направленными к объекту и обозначенными через x и v. Объект, в свою очередь, воздействует на f окружающую среду. Это воздействие показано стрелкой, направленной от объекта и обозначенной через y. Величину y принято называть выходным воздействием или выходной величиной объекта.

Рассмотрим более подробно воздействие среды на объект. Совокупность таких воздействий окружающего мира на объект можно разделить на две группы в соответствии с характером влияния среды на переменные состояния (фазовые координаты) объекта. В первую группу входят те воздействия, которые в точке приложения изменяют переменные состояния аддитивно. Это означает, что сигналы, пропорциональные этим воздействиям, суммируются с сигналами, пропорциональными соответствующим переменным состояния.

Эти воздействия называют «входными», или «внешними», воздействиями. В дальнейшем будем называть эти воздействия «входными».

Входные воздействия могут быть полезными (управляющими сигналами u) и помехами (возмущающими воздействиями f). Вторая группа воздействий внешней среды изменяет переменные состояния объекта косвенно, обычно не аддитивно. Эти воздействия приводят к изменению оператора объекта (системы) А, под которым понимают закон преобразования входных воздействий в выходные переменные объекта. Вторую группу воздействий будем называть операторной, а воздействия — операторными.

Так, например, повышение температуры электродвигателя приводит к падению мощности и даже выходу его из строя.

В общем случае входные и выходные воздействия могут описываться определенными функциями (обычно функциями времени). Математически соответствие между входной и выходной функциями можно записать в виде выражения:

y (t)=A (f)u (t) (1.1).

где A (f) — оператор, зависящий от возмущений (операторных воздействий);

y (t) — вектор выходных координат объекта;

u (t) — вектор управления (входа).

Оператор объекта является его математической характеристикой, т. е. математической моделью объекта.

Примерами операторов могут быть:

дифференцирование математический идентификация.

— оператор дифференцирования p: (1.2).

— дифференциальный оператор D (y): (1.3).

Математически операторы определяются в соответствующих пространствах, т. е. на множествах элементов, над которыми совершаются преобразования. Примерами таких пространств являются пространства: непрерывных функций; непрерывных функций, имеющих непрерывные производные до n-го порядка (n > 0); функций с суммируемым квадратом и т. д. Множества входных и выходных сигналов объектов и систем могут рассматриваться как те или иные метрические пространства.

Формально оператор характеризуется структурой и параметрами. Так, структура дифференциального оператора (1.3) определяется его порядком n.