Примеры неустойчивых разностных схем

Впервые явление неустойчивости при решении уравнений в частных производных возникло при решении уравнения теплопроводности. Рассмотрим более простое уравнение — уравнение переноса, являющееся модельным для некоторых процессов в механике сплошной среды.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения переноса.

Уравнение (4.22) является простейшим линейным уравнением гиперболического типа. Задача (4.22) имеет точное решение, которое строится с использованием метода характеристик. Сравним точное решение дифференциального уранения с разностным, полученным с использованием различных схем, и дадим оценку аппроксимации, устойчивости и сходимости этих схем.

Уравнение (4.22) обладает семейством прямолинейных характеристик х = t + const, которые заполняют всю плоскость (t, дг) (рис. 4.9). На каждой характеристике выполняется условие совместности и = С, где С — величина постоянная вдоль рассматриваемой характеристики, но меняющаяся от характеристики к характеристике. Отмеченные свойства позволяют легко построить решение задачи (4.22). Например, в некоторой точке А значение функции и_А равно значению функции и₀ в точке А', расположенной на пересечении характеристики, выходящей из точки А, и оси абсцисс, на которой заданы данные Коши (рис. 4.9).

Рис. 4.9.

Далее рассмотрим некоторую специальную начальную функцию (рис. 4.10, а) вида

В силу свойств начальной функции правее характеристики АВ, выходящей из начала координат (рис. 4.10, б), точное решение задачи таково, что и = 0. Левее этой характеристики точное решение определяется по значениям функции и₀(х) указанным способом.

Рассмотрим теперь две разностные схемы, с помощью которых попытаемся построить численное решение задачи (4.22). Трехточечные шаблоны этих схем изображены на рис. 4.11. Шаблон, изображенный на рис. 4.11, а, называют уголок вперед или правый уголок, а шаблон, изображенный на рис. 4.11, б, — уголок назад или левый уголок. Разностные схемы на этих шаблонах являются явными, поскольку для аппроксимации пространственной производной ди/дх используются известные значения функции на ft-м слое.

Рис. 4.10.

Рис. 4.11.

Для шаблона, показанного на рис. 4.11, а, разностная схема уголок вперед запишется в виде.

Так как при аппроксимации производных использовались односторонние разности, разностная схема (4.23) имеет первый порядок аппроксимации по т и Л. Из соотношения (4.23) решение на (A + 1)-м слое запишется в виде.

Пусть k — О, тогда в силу граничных условий и® = и® _{+ х} = О для х > 0 и из уравнения (4.24) следует, что при всех m и * > 0 решение на слое A = 1 тождественно равно нулю, т. е. и * = 0. Аналогично для всех последующих слоев = 0 при х > 0. Таким образом, из (4.24) следует, что в правом верхнем квадранте и_Л = 0, хотя, согласно точному решению, и = 0 только в области, лежащей правее характеристики АВ. Следовательно, разностная схема.

• (4.23) дает решение, сколь угодно отличающееся от точного независимо от шагов разностной сетки т и А; т. е. при стремлении шагов т и Л к нулю не будет иметь места сходимость решения разностной задачи к точному решению. Вместе с тем разностная схема
• (4.23) является аппроксимирующей.

В рассмотренном случае для схемы уголок вперед малое изменение граничных условий при х < 0 приводит к сколь угодно большим отличиям в решении, полученном по этой схеме в области между осью ординат и характеристикой, выходящей из начала координат. Таким образом, отсутствует непрерывная зависимость решения от граничных условий.

Для шаблона, показанного на рис. 4.11, б, разностная схема уголок назад запишется в виде.

Рис. 4.12.

Эта схема также имеет первый порядок аппроксимации. По соотношению (4.25) решение на (А + 1)-м слое имеет вид.

Рассмотрим три случая, соответствующие различным соотношениям шагов т и А: т/А = 1, т/А 1. В случае т/Л = 1 (рис. 4.12, а) разностная схема дает точное решение и* ^{+ 1} = и^к_т _ _v поскольку значение функции по характеристике, помеченной на рисунке пунктиром, переносится из точки (т — 1, А) в точку (т, А •+ 1). Такое совпадение является, однако, свойством конкретных задач и разностных схем, и в других случаях условие т = Л может и не обеспечивать точного решения.

В случае т/Л < 1 (рис. 4.12, б) правая часть формулы (4.26) является формулой линейной интерполяции функции u_h между точками (т — 1, А) и (т, А) на слое А, которая дает значение функции в точке, отстоящей от точки (т, А) на расстояние т. Это значение переносится по характеристике (пунктирная линия на рис. 4.12, б) в точку (т, А + 1) и дает решение, близкое к истинному с такой точностью, какой обладает линейная интерполяция. При этом, если и₀(х) — линейная функция, при т/А < 1 формула (4.26) дает точное решение.

При т/Л > 1 (рис. 4.12, в) формула (4.26) является формулой линейной экстраполяции функции u_h, и в общем случае можно получить решение, существенно отличающееся от точного.

РАЗНОСТНАЯ СХЕМА называется АБСОЛЮТНО УСТОЙЧИВОЙ, если она устойчива при любом соотношении шагов. Схема называется АБСОЛЮТНО НЕУСТОЙЧИВОЙ, если она неустойчива при любом соотношении шагов. Разностная схема называется УСЛОВНО (частично) УСТОЙЧИВОЙ, если она устойчива при некотором соотношении шагов.

Проведенное рассмотрение двух схем уголок вперед и уголок назад для уравнения переноса показывает, что схема (4.23) уголок вперед является абсолютно неустойчивой, а схема (4.25) уголок назад— условно устойчивой при Т/Л < 1. Условие т/Л < 1 сформулируем в виде условия Куранта — Фридрихса — Леви.

| Условие Куранта — Фридрихса — Леви Пусть область влияния разностной схемы содержит в себе область влияния дифференциального уравнения. Разностная схема является неустойчивой, если это условие не выполнено.

На рис. 4.12 область влияния дифференциального уравнения заштрихована для всех трех случаев отношения т/Л. Видно, что для случая т/Л > 1 разностная схема неустойчива.